Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-|x-4|} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} x\,e^{-|x-4|}\,dx
quanto à convergência. Para isso, vamos analisar separadamente o comportamento do integrando nos limites x\to-\infty e x\to+\infty.

Passo 2

Para x\to+\infty temos |x-4|=x-4, logo
\bigl|x\,e^{-|x-4|}\bigr| = x\,e^{-(x-4)} = x\,e^{4}\,e^{-x}.
Como se sabe que
\int_{A}^{\infty} x\,e^{-x}\,dx
converge (é uma integral de termo exponencial decrescente), concluímos que o ramo em +\infty converge.

Passo 3

Para x\to-\infty temos |x-4|=4-x, logo
\bigl|x\,e^{-|x-4|}\bigr| = |x|\,e^{-(4-x)} = |x|\,e^{-4}\,e^{x}.
E sabe-se que
\int_{-\infty}^{B} |x|\,e^{x}\,dx
também converge (é uma integral de termo exponencial decrescente para x\to-\infty). Logo o ramo em -\infty converge.

Passo 4

Pelo teste de comparação em cada infinito, a integral é absolutamente convergente. Portanto
\int_{-\infty}^{\infty} x\,e^{-|x-4|}\,dx
é convergente.

Resposta

convergente.

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