Determine o valor das seguintes integrais.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
O conteúdo envolvido é a técnica de substituição (u-substituição), observando que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan x, \quad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Nos limites, quando x=0 temos u=\tan0=0, e quando x=\tfrac{\pi}{4} temos u=\tan\tfrac{\pi}{4}=1.

Passo 3

A integral em u fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int_{0}^{1} u^{2}\,du.

Passo 4

A primitiva de u^{2} é
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}.
Avaliaremos de 0 a 1:
\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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