Determine o valor das seguintes integrais.
\int_{1}^{\sqrt{2}} x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{\sqrt{2}} x\,e^{-x^{2}}\;dx
O conteúdo principal é integração por substituição, pois a derivada de -x^{2} (ou de x^{2}) é proporcional a x, que está multiplicando o expoente.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}, \quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Também trocamos os limites: quando x=1, u=1^{2}=1; quando x=\sqrt{2}, u=(\sqrt{2})^{2}=2.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
\int_{1}^{\sqrt{2}} x\,e^{-x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=2} e^{-u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} e^{-u}\,du.

Passo 4

Sabendo que
\int e^{-u}\,du = -e^{-u} + C,
temos
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[-e^{-u}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\bigl(-e^{-2} -(-e^{-1})\bigr).

Passo 5

Simplificando a avaliação nos limites, obtemos
\frac{1}{2}\bigl(e^{-1}-e^{-2}\bigr).

Resposta

\int_{1}^{\sqrt{2}} x\,e^{-x^{2}}\,dx = \frac{e^{-1}-e^{-2}}{2}.

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