Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \cos \left(\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,\mathrm{d}x
quanto à convergência. Vamos usar uma troca de variável para ver se ela produz um valor finito.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \tfrac{1}{x},
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\mathrm{d}t = -\frac{1}{x^{2}}\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}\,\mathrm{d}x = -\,\mathrm{d}t.
Quando x vai de 1 a +\infty, t varia de 1 a 0.

Passo 3

Aplicando essa mudança na integral, obtemos
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,\mathrm{d}x =\int_{1}^{0}\cos(t)\,(-\mathrm{d}t) =\int_{0}^{1}\cos(t)\,\mathrm{d}t =\bigl[\sin(t)\bigr]_{0}^{1} =\sin(1)\,,
que é um número finito.

Passo 4

Como a integral imprópria resulta em \sin(1)<+\infty, ela é convergente.

Resposta

A integral é convergente.

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