Determine o valor das seguintes integrais.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x\,dx.
Vamos usar a técnica de substituição, lembrando que \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} e que a derivada de \cos x envolve \sin x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos x,\quad du = -\sin x\,dx,
então
\tan x\,dx = \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\frac{du}{u}.

Passo 3

Integrando, obtemos o antiderivado
\int \tan x\,dx = \int -\frac{du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a \tfrac{\pi}{3}:
\left[-\ln|\cos x|\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\ln\bigl|\cos(\tfrac{\pi}{3})\bigr| - \bigl(-\ln\bigl|\cos(0)\bigr|\bigr) = -\ln\bigl(\tfrac12\bigr) + \ln(1) = \ln(2).

Resposta

\ln 2

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