Ilustre as várias possibilidades para as interseções entre pares de objetos geométricos da seguinte coleção : retas, círculos, elipses, parábolas e hipérboles.
Por exemplo, duas elipses não coincidentes são disjuntas ou intersectam-se em 1, 2, 3 ou 4 pontos.
Passo 1
O enunciado pede que a gente descreva, para cada par de objetos na coleção
reta, círculo, elipse, parábola e hipérbole, quais são as possíveis quantidades de pontos de interseção.
O conteúdo envolvido é a interseção de curvas algébricas (grau para retas e grau
para cônicas), e vamos usar argumentos de grau (Bézout) e posição relativa para contar interseções reais.
reta, círculo, elipse, parábola e hipérbole, quais são as possíveis quantidades de pontos de interseção.
O conteúdo envolvido é a interseção de curvas algébricas (grau
Passo 2
Interseção entre duas retas: cada reta tem equação de grau
, então o sistema é de grau
. As possibilidades são
, onde
– ocorre se forem paralelas distintas,
– se se cruzam num ponto,
– se coincidirem.
–
–
–
Passo 3
Interseção de uma reta com uma cônica (círculo, elipse, parábola ou hipérbole): a reta é grau
e a cônica grau
, logo o sistema pode ter até
soluções reais ou complexas. Nos casos reais, temos
, em que
– não toca a cônica,
– é tangente,
– cruza em dois pontos distintos.
–
–
–
Passo 4
Interseção entre duas cônicas de classes distintas (círculo–elipse, círculo–parábola, círculo–hipérbole, elipse–parábola, elipse–hipérbole, parábola–hipérbole): cada uma é grau
, então o sistema total é grau
(Bézout prevê até
interseções contadas com multiplicidade). Como não podem coincidir integralmente, as interseções reais possíveis são
, inclusive o caso de tangência dupla somado a outras duas interseções reais.
Passo 5
Interseção entre duas cônicas da mesma classe (círculo–círculo, elipse–elipse, parábola–parábola, hipérbole–hipérbole): também há até
interseções (grau
), mas além de
pode ocorrer coincidência total, gerando interseção infinita. Assim:
– Para círculo–círculo: .
– Para elipse–elipse, parábola–parábola e hipérbole–hipérbole: .
– Para círculo–círculo:
– Para elipse–elipse, parábola–parábola e hipérbole–hipérbole:
Resposta
Reta–reta:
Reta–cônica (círculo, elipse, parábola ou hipérbole):
Cônicas distintas (círculo–elipse, círculo–parábola, círculo–hipérbole, elipse–parábola, elipse–hipérbole, parábola–hipérbole):
Cônicas mesma classe:
– círculo–círculo:
– elipse–elipse, parábola–parábola, hipérbole–hipérbole:
Reta–cônica (círculo, elipse, parábola ou hipérbole):
Cônicas distintas (círculo–elipse, círculo–parábola, círculo–hipérbole, elipse–parábola, elipse–hipérbole, parábola–hipérbole):
Cônicas mesma classe:
– círculo–círculo:
– elipse–elipse, parábola–parábola, hipérbole–hipérbole: