Ilustre as várias possibilidades para as interseções entre pares de objetos geométricos da seguinte coleção : retas, círculos, elipses, parábolas e hipérboles.
Por exemplo, duas elipses não coincidentes são disjuntas ou intersectam-se em 1, 2, 3 ou 4 pontos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva, para cada par de objetos na coleção
reta, círculo, elipse, parábola e hipérbole, quais são as possíveis quantidades de pontos de interseção.
O conteúdo envolvido é a interseção de curvas algébricas (grau 1 para retas e grau 2 para cônicas), e vamos usar argumentos de grau (Bézout) e posição relativa para contar interseções reais.

Passo 2

Interseção entre duas retas: cada reta tem equação de grau 1, então o sistema é de grau 1+1. As possibilidades são
0,1,infty, onde
;0 ocorre se forem paralelas distintas,
;1 se se cruzam num ponto,
infty se coincidirem.

Passo 3

Interseção de uma reta com uma cônica (círculo, elipse, parábola ou hipérbole): a reta é grau 1 e a cônica grau 2, logo o sistema pode ter até 2 soluções reais ou complexas. Nos casos reais, temos
0,1,2, em que
;0 não toca a cônica,
;1 é tangente,
;2 cruza em dois pontos distintos.

Passo 4

Interseção entre duas cônicas de classes distintas (círculo–elipse, círculo–parábola, círculo–hipérbole, elipse–parábola, elipse–hipérbole, parábola–hipérbole): cada uma é grau 2, então o sistema total é grau 4 (Bézout prevê até 4 interseções contadas com multiplicidade). Como não podem coincidir integralmente, as interseções reais possíveis são
0,1,2,3,4, inclusive o caso de tangência dupla somado a outras duas interseções reais.

Passo 5

Interseção entre duas cônicas da mesma classe (círculo–círculo, elipse–elipse, parábola–parábola, hipérbole–hipérbole): também há até 4 interseções (grau 2+2), mas além de 0,1,2,3,4 pode ocorrer coincidência total, gerando interseção infinita. Assim:
– Para círculo–círculo: 0,1,2,infty.
– Para elipse–elipse, parábola–parábola e hipérbole–hipérbole: 0,1,2,3,4,infty.

Resposta

Reta–reta: 0,1,infty
Reta–cônica (círculo, elipse, parábola ou hipérbole): 0,1,2
Cônicas distintas (círculo–elipse, círculo–parábola, círculo–hipérbole, elipse–parábola, elipse–hipérbole, parábola–hipérbole): 0,1,2,3,4
Cônicas mesma classe:
– círculo–círculo: 0,1,2,infty
– elipse–elipse, parábola–parábola, hipérbole–hipérbole: 0,1,2,3,4,infty

Exercícios relacionados