Classifique os seguintes números em \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \backslash e \mathbb{C} (quando aplicável):
3,142857 \ldots (a dízima periódica)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o número periódico 3{,}142857\ldots nos conjuntos \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\setminus e \mathbb{C}. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos numéricos e as inclusões
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.

Passo 2

Para pertencer a \mathbb{N} ou a \mathbb{Z} o número teria de ser inteiro (sem parte decimal). Como 3{,}142857\ldots não é inteiro, concluímos que
3{,}142857\ldots\notin\mathbb{N} \quad\text{e}\quad 3{,}142857\ldots\notin\mathbb{Z}.

Passo 3

Todo decimal periódico é um número racional, pois pode ser escrito como quociente de dois inteiros. Nesse caso temos
3{,}142857\ldots = 3 + 0{,}142857\ldots = 3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}.
Logo
3{,}142857\ldots\in\mathbb{Q}.

Passo 4

Como \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, todo racional é real. Portanto
3{,}142857\ldots\in\mathbb{R}.

Passo 5

E também \mathbb{R}\subset\mathbb{C}, logo todo real é um número complexo (com parte imaginária zero). Assim
3{,}142857\ldots\in\mathbb{C}.

Resposta

\mathbb{N}: não \mathbb{Z}: não \mathbb{Q}: sim \mathbb{R}: sim \mathbb{C}: sim

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