Use o método de redução de ordem para encontrar a solução geral da EDO \left(1+t^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 t y^{\prime}+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
(1+t^{2})\,y''-2t\,y'+2y=0
usando o método de redução de ordem. Estamos em EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para aplicar redução de ordem, precisamos conhecer uma solução particular y_{1}(t) não nula.

Passo 2

Procuramos por uma solução simples do tipo polinomial. Testamos y_{1}(t)=t. Calculamos
y_{1}'=1,\quad y_{1}''=0,
e substituímos na equação:
(1+t^{2})\cdot0-2t\cdot1+2\cdot t = -2t+2t = 0.
Logo, y_{1}(t)=t é de fato uma solução.

Passo 3

Escrevemos a EDO na forma padrão
y'' + P(t)\,y' + Q(t)\,y = 0,
onde
P(t) = -\frac{2t}{1+t^{2}},\quad Q(t) = \frac{2}{1+t^{2}}.
Na redução de ordem, buscamos y_{2}=v(t)\,y_{1}=v(t)\,t. A fórmula para v'(t) é
v'(t) = \frac{\exp\bigl(-\int P(t)\,\mathrm{d}t\bigr)}{y_{1}(t)^{2}}.
Calculamos primeiro
-\int P(t)\,\mathrm{d}t = -\int \Bigl(-\frac{2t}{1+t^{2}}\Bigr)\,\mathrm{d}t = 2\int \frac{t}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t = 2\cdot\frac{1}{2}\ln(1+t^{2}) = \ln(1+t^{2}).
Assim
\exp\bigl(-\!\int P(t)\,\mathrm{d}t\bigr)=1+t^{2},
e portanto
v'(t) = \frac{1+t^{2}}{t^{2}} = 1 + \frac{1}{t^{2}}.

Passo 4

Integramos v'(t):
v(t) = \int\Bigl(1 + \tfrac{1}{t^{2}}\Bigr)\,\mathrm{d}t = t - \frac{1}{t} + C.
Escolhendo a constante de integração C=0 para obtermos uma solução independente, temos
v(t)=t-\frac{1}{t},
e
y_{2}(t)=v(t)\,t = t\Bigl(t-\frac{1}{t}\Bigr)=t^{2}-1.

Passo 5

Como \{y_{1},y_{2}\}=\{t,\,t^{2}-1\} é um par de soluções linearmente independentes, a solução geral é
y(t)=C_{1}\,t + C_{2}\,\bigl(t^{2}-1\bigr),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}\,t + C_{2}\,\bigl(t^{2}-1\bigr).

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