Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, calcule sua soma. Justifique suas respostas,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr)
como convergente ou divergente e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é soma de séries telescópicas, em que boa parte dos termos se cancelam quando construímos as somas parciais.

Passo 2

Definimos a soma parcial de ordem N como
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr).

Passo 3

Escrevendo explicitamente os primeiros termos de S_{N}, temos
S_{N} = \Bigl(\tfrac{1}{1}-\tfrac{1}{2}\Bigr) +\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\tfrac{1}{N}-\tfrac{1}{N+1}\Bigr).
Repare que \tfrac{1}{2} aparece com sinal menos no primeiro parêntese e com sinal mais no segundo, e assim por diante para todos os termos intermediários. Logo, quase tudo se cancela (“telescopa”) deixando
S_{N} = 1 - \frac{1}{N+1}.

Passo 4

Para determinar a convergência, tomamos o limite de S_{N} quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N} = \lim_{N\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{N+1}\Bigr) = 1 - 0 = 1.
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série é convergente.

Resposta

A série é convergente e sua soma vale 1.

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