Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, calcule sua soma. Justifique suas respostas,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como convergente ou divergente e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é soma de séries telescópicas, em que boa parte dos termos se cancelam quando construímos as somas parciais.
Passo 2
Definimos a soma parcial de ordem
como
Passo 3
Escrevendo explicitamente os primeiros termos de
, temos
Repare que
aparece com sinal menos no primeiro parêntese e com sinal mais no segundo, e assim por diante para todos os termos intermediários. Logo, quase tudo se cancela (“telescopa”) deixando
Passo 4
Para determinar a convergência, tomamos o limite de
quando
:
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série é convergente.
Resposta
A série é convergente e sua soma vale
.