Parametrize a curva dada pela intersecão
E=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2} \leq 4\right.\\\ \left.\begin{array}{l}z \leqslant 2-x^{2}-y^{2} \\\ z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}-2\end{array}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva de interseção entre o paraboloide
z = 2 - x^{2} - y^{2}
e o “cone deslocado”
z = \sqrt{x^{2}+y^{2}} - 2
sujeito ainda à região x^{2}+y^{2}\le4. Vamos usar coordenadas polares no plano xy para encontrar essa curva.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r\ge0,\;0\le\theta<2\pi.
Nessas coordenadas as duas superfícies ficam
z_{1}(r) = 2 - r^{2}, \qquad z_{2}(r) = r - 2.

Passo 3

Na curva de interseção temos z_{1}(r)=z_{2}(r), logo
2 - r^{2} \;=\; r - 2
que leva à equação quadrática
r^{2} + r - 4 = 0.
Resolvendo-a pelo discriminante \Delta = 1 + 16 = 17, obtemos
r = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}.
Como r\ge0, escolhemos
r_{0} = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}.

Passo 4

Portanto a curva de interseção é dada por r=r_{0} constante e \theta variando de 0 a 2\pi. O valor de z nessa curva vale tanto 2 - r_{0}^{2} quanto r_{0}-2. Calculamos, por exemplo,
z_{0} = 2 - r_{0}^{2}.

Resposta

\begin{cases} x(\theta) = \displaystyle\frac{\sqrt{17}-1}{2}\cos\theta,\\[6pt] y(\theta) = \displaystyle\frac{\sqrt{17}-1}{2}\sin\theta,\\[6pt] z(\theta) = 2 - \Bigl(\displaystyle\frac{\sqrt{17}-1}{2}\Bigr)^{2}, \end{cases} \quad 0 \le \theta < 2\pi.]

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