Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(2 n)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!}
quanto à convergência. O conteúdo envolvido é séries numéricas e vamos usar manipulação de fatoriais e o teste da razão (ou, alternativamente, o teste do termo geral).

Passo 2

Observe que
2\cdot4\cdot6\cdots(2n) =\prod_{k=1}^{n}(2k) =2^n\prod_{k=1}^{n}k =2^n\,n!.
Logo o termo geral da série fica
a_n=\frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!} =\frac{2^n\,n!}{n!} =2^n.

Passo 3

Como a_n=2^n, podemos aplicar o teste da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}}{2^n} =2>1.
Esse resultado implica divergência. Além disso, o termo geral a_n=2^n não tende a zero, o que por si só já impede a convergência da série.

Resposta

A série é divergente.

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