Find all the second partial derivatives.
v=e^{x x^{y}}

Passo 1

Temos a função
v(x,y)=e^{\,x\,x^y}
e queremos todas as segundas derivadas parciais. O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia e do produto para derivadas parciais de funções compostas.

Passo 2

Para simplificar, defina
u(x,y)=x^{y+1}\quad\text{pois}\quad x\,x^y=x^{y+1},
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v(x,y)=e^{u(x,y)}.
Pela regra da cadeia,
u_x=(y+1)x^y,\qquad u_y=x^{y+1}\ln x,
v_x=e^u\,u_x=(y+1)x^y\,e^{x^{y+1}},\qquad v_y=e^u\,u_y=x^{y+1}\ln x\,e^{x^{y+1}}.

Passo 3

Agora calcule
v_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[(y+1)x^y e^u\bigr].
Aplicando produto em x^y e e^u:
v_{xx}=(y+1)\Bigl(y\,x^{y-1}e^u + x^y e^u\,u_x\Bigr).
Substituindo u_x=(y+1)x^y e u=x^{y+1},
v_{xx}=(y+1)\Bigl(y\,x^{y-1}e^{x^{y+1}} + x^y e^{x^{y+1}}\,(y+1)x^y\Bigr) =e^{x^{y+1}}(y+1)\bigl(y\,x^{y-1}+(y+1)x^{2y}\bigr).

Passo 4

Agora
v_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl[(y+1)x^y e^u\bigr].
Três termos pela soma de produtos em y:
v_{xy} =1\cdot x^y e^u +(y+1)\,x^y\ln x\,e^u +(y+1)x^y e^u\,u_y.
Como u_y=x^{y+1}\ln x,
v_{xy} =e^{x^{y+1}}\Bigl[x^y+(y+1)x^y\ln x+(y+1)x^y\cdot x^{y+1}\ln x\Bigr] =e^{x^{y+1}}x^y\bigl[1+(y+1)\ln x+(y+1)x^{y+1}\ln x\bigr].
Pela igualdade mista de derivadas (teorema de Schwarz),
v_{yx}=v_{xy}.

Passo 5

Finalmente
v_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl[x^{y+1}\ln x\,e^u\bigr].
Produto em x^{y+1}\ln x e e^u:
v_{yy} =x^{y+1}(\ln x)^2 e^u +x^{y+1}\ln x\,e^u\,u_y.
Substituindo u_y=x^{y+1}\ln x e u=x^{y+1},
v_{yy} =e^{x^{y+1}}(\ln x)^2\bigl[x^{y+1}+x^{y+1}\cdot x^{y+1}\bigr] =e^{x^{y+1}}(\ln x)^2\bigl[x^{y+1}+x^{2y+2}\bigr].

Resposta

v_{xx} = e^{x^{y+1}}(y+1)\bigl(y\,x^{y-1}+(y+1)x^{2y}\bigr)
v_{xy} = v_{yx} = e^{x^{y+1}}x^y\bigl[1+(y+1)\ln x+(y+1)x^{y+1}\ln x\bigr]
v_{yy} = e^{x^{y+1}}(\ln x)^2\bigl[x^{y+1}+x^{2y+2}\bigr]

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