Questão 4. Encontre a solução em SÉRIES DE POTÊNCIAS am t_{0}=0. Você deve encontrar a relação de recorrência e calcular os 6 primeiros coeficientes da solução ( a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} ). (Não se assuste com frações)
\left(t^{2}-1\right) y^{\prime \prime}+3 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução de
\bigl(t^{2}-1\bigr)y''+3y=0
em séries de potências centradas em t_{0}=0, com y(0)=0 e y'(0)=1.
Conteúdo: método de expansão em série de potências para EDOs de coeficientes analíticos.

Passo 2

Assumimos
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n}, \quad y'(t)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}t^{n-1}, \quad y''(t)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}t^{n-2}.

Passo 3

Substituindo em \bigl(t^{2}-1\bigr)y''+3y=0
t^{2}y''-y''+3y =\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}t^{n} -\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}t^{n-2} +3\sum_{n=0}^\infty a_{n}t^{n}=0.
Reescrevendo o segundo somatório com m=n-2 e realinhando expoentes em t^{n}:
\sum_{n=0}^\infty\bigl[n(n-1)+3\bigr]a_{n}t^{n} -\sum_{n=0}^\infty(n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n}=0.

Passo 4

Coeficiente de t^{n} deve ser zero, logo obtém-se a relação de recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} =\bigl[n(n-1)+3\bigr]\,a_{n},
ou seja
a_{n+2} =\frac{n(n-1)+3}{(n+2)(n+1)}\,a_{n}.

Passo 5

As condições iniciais em série são
y(0)=a_{0}=0, \qquad y'(0)=a_{1}=1.
Usando a recorrência para obter os primeiros coeficientes:
  • Para n=0:
a_{2} =\frac{0\cdot(-1)+3}{2\cdot1}\,a_{0} =\frac{3}{2}\cdot0 =0.
  • Para n=1:
a_{3} =\frac{1\cdot0+3}{3\cdot2}\,a_{1} =\frac{3}{6}\cdot1 =\tfrac12.
  • Para n=2:
a_{4} =\frac{2\cdot1+3}{4\cdot3}\,a_{2} =\frac{5}{12}\cdot0 =0.
  • Para n=3:
a_{5} =\frac{3\cdot2+3}{5\cdot4}\,a_{3} =\frac{9}{20}\cdot\tfrac12 =\tfrac{9}{40}.

Resposta

a_{0}=0
a_{1}=1
a_{2}=0
a_{3}=\tfrac12
a_{4}=0
a_{5}=\tfrac{9}{40}

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