• Questão 1 (0.9 ponto cada item) Considerando a trajetória parametrizada pela seguinte função:
\vec{r}(t)=t \vec{i}+t^{2} \vec{j}+\left(1-t^{2}\right) \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
(A) tangente unitário \vec{T}(t)= :
( ) \vec{i}+2 t \vec{j}-2 t \vec{k}
( ) \frac{\vec{i}+2 t \vec{j}-2 t \vec{k}}{\sqrt{8 t^{2}+1}}
( ) \frac{\vec{i}+2 t \vec{j}+2 t \vec{k}}{\sqrt{8 t^{2}+1}}
( ) \vec{i}+2 t \vec{j}+2 t \vec{k}
( ) nenhuma das anteriores
(B) acceleração \vec{a}(t)=\frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}}= :
( ) \frac{\vec{i}+2 t \vec{j}-2 t \vec{k}}{\sqrt{8 t^{2}+1}}
( ) \frac{\vec{i}+2 t \vec{j}+2 t \vec{k}}{\sqrt{8 t^{2}+1}}
( ) 2 \vec{i}-2 \vec{k}
( ) 2 \vec{i}+2 \vec{k}
( ) nenhuma das anteriores
(C) vetor normal unitário \vec{N}(t) em t=1 :
( ) \frac{-4 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k}}{3 \sqrt{2}}
( ) \frac{-4 \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}}{3 \sqrt{2}}
( ) \frac{-4 \vec{i}-\vec{j}+\vec{k}}{3 \sqrt{2}}
( ) \frac{4 \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}}{3 \sqrt{2}}
( ) nenhuma das anteriores
(D) vetor binormal \vec{B}(t) em t=1 :
( ) \frac{-\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}}{\sqrt{3}}
( ) \frac{\vec{j}-\vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) \frac{\vec{j}+\vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) \frac{\vec{i}-\vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) nenhuma das anteriores
(E) curvatura em t=1 :
( ) \frac{2 \sqrt{2}}{3}
( ) \frac{2 \sqrt{2}}{27}
( ) \frac{27}{2 \sqrt{2}}
( ) \frac{3 \sqrt{3}}{8}
( ) nenhuma das anteriores
(F) aceleração normal em t=1 :
( ) \frac{2 \sqrt{2}}{27}
( ) 0
( ) \frac{2 \sqrt{2}}{9}
( ) \frac{2 \sqrt{2}}{3}
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a trajetória
\vec{r}(t)=t\,\vec{i}+t^{2}\,\vec{j}+(1-t^{2})\,\vec{k},\quad t\ge0
e pede:
A) vetor tangente unitário \vec T(t)
B) aceleração \vec a(t)
C) vetor normal unitário \vec N(t) em t=1
D) vetor binormal \vec B(t) em t=1
E) curvatura \kappa em t=1
F) aceleração normal a_N em t=1.
Para isso precisamos da definição de velocidade \vec v=\vec r', aceleração \vec a=\vec r'', a decomposição de \vec a em componentes normal/tangencial e as fórmulas
\vec T=\frac{\vec v}{\|\vec v\|},
\vec N=\frac{\vec a-\bigl(\vec a\cdot\vec T\bigr)\vec T}{\|\vec a-(\vec a\cdot\vec T)\vec T\|},
\vec B=\vec T\times\vec N,
\kappa=\frac{\|\vec v\times\vec a\|}{\|\vec v\|^{3}},
a_{N}=\kappa\,\|\vec v\|^{2}.

Passo 2

Calculamos a velocidade e seu módulo:
\vec v(t)=\vec r'(t)=\vec i+2t\,\vec j-2t\,\vec k,
\|\vec v(t)\|=\sqrt{1+(2t)^{2}+(-2t)^{2}} =\sqrt{1+4t^{2}+4t^{2}} =\sqrt{1+8t^{2}}.
Logo o tangente unitário é
\vec T(t) =\frac{\vec v(t)}{\|\vec v(t)\|} =\frac{\vec i+2t\,\vec j-2t\,\vec k}{\sqrt{1+8t^{2}}}.

Passo 3

A aceleração é a derivada de \vec v:
\vec a(t)=\vec v'(t)=0\,\vec i+2\,\vec j-2\,\vec k =2\,\vec j-2\,\vec k.

Passo 4

Em t=1 temos \vec v(1)=\<1,2,-2\> com \|\vec v(1)\|=3 e
\vec T(1)=\tfrac{1}{3}\<1,2,-2\>.
Calculamos
\vec a(1)\cdot\vec T(1) =\<0,2,-2\>\cdot\tfrac{1}{3}\<1,2,-2\> =\frac{8}{3},
e o componente normal de \vec a:
\vec a_{\perp} =\vec a(1)-(\vec a(1)\cdot\vec T(1))\,\vec T(1) =\<0,2,-2\>-\tfrac{8}{3}\tfrac{\<1,2,-2\>}{3} =\frac{2}{9}\<-4,1,-1\>.
Seu módulo é \frac{2\sqrt{18}}{9}=\tfrac{2\sqrt2}{3}, de modo que
\vec N(1) =\frac{\<-4,1,-1\>}{3\sqrt2}.

Passo 5

O binormal em t=1 é
\vec B(1)=\vec T(1)\times\vec N(1) =\frac{\<1,2,-2\>}{3}\times\frac{\<-4,1,-1\>}{3\sqrt2} =\frac{\<0,9,9\>}{9\sqrt2} =\frac{\vec j+\vec k}{\sqrt2}.

Passo 6

A curvatura em t=1 é
\kappa(1) =\frac{\|\vec v(1)\times\vec a(1)\|}{\|\vec v(1)\|^{3}} =\frac{\|\,\<1,2,-2\>\times\<0,2,-2\>\,\|}{3^{3}} =\frac{2\sqrt2}{27}.

Passo 7

A aceleração normal vale
a_{N}(1)=\kappa(1)\,\|\vec v(1)\|^{2} =\frac{2\sqrt2}{27}\cdot 9 =\frac{2\sqrt2}{3}.

Resposta

(A) \displaystyle\frac{\vec i+2t\,\vec j-2t\,\vec k}{\sqrt{1+8t^{2}}}
(B) nenhuma das anteriores
(C) \displaystyle\frac{-4\,\vec i+\vec j-\vec k}{3\sqrt2}
(D) \displaystyle\frac{\vec j+\vec k}{\sqrt2}
(E) \displaystyle\frac{2\sqrt2}{27}
(F) \displaystyle\frac{2\sqrt2}{3}

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