Classifique os seguintes sistemas através do posto.
\left\{\begin{array}{l}-x+y-z=2 \\\\ 2 x-3 y+7 z=10 \\\ x-y+5 z=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para “classificar” o sistema linear
\begin{cases} -x + y - z = 2,\\\\ 2x - 3y + 7z = 10,\\\ x - y + 5z = 6 \end{cases}
pelo posto (rank) das matrizes de coeficientes e ampliada. O conteúdo é Álgebra Linear: usamos o determinante para verificar se a matriz de coeficientes é de posto máximo e, assim, a classificação do sistema.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e calculamos seu determinante:
A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ 2 & -3 & 7\\\\ 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Calculando \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = -1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 7\\\ -1 & 5\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 7\\\ 1 & 5\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Agora,
\det\begin{pmatrix}-3 & 7\\\ -1 & 5\end{pmatrix} = (-3)\cdot5 - 7\cdot(-1) = -15 + 7 = -8,
\det\begin{pmatrix}2 & 7\\\ 1 & 5\end{pmatrix} = 2\cdot5 - 7\cdot1 = 10 - 7 = 3,
\det\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 1 & -1\end{pmatrix} = 2\cdot(-1) - (-3)\cdot1 = -2 + 3 = 1.
Logo,
\det(A) = -1\cdot(-8) - 1\cdot3 -1\cdot1 = 8 - 3 - 1 = 4.

Passo 3

Como \det(A) = 4 \neq 0, a matriz A é invertível e tem posto máximo \mathrm{rank}(A)=3. O sistema tem três incógnitas, logo
\mathrm{rank}(A)=3=\text{nº de incógnitas}.ºó
Nesse caso, a matriz ampliada também terá posto 3 (não há contradição), e concluímos que o sistema é compatível determinado, ou seja, tem solução única.

Resposta

O sistema é compatível determinado (posto da matriz de coeficientes igual ao número de incógnitas, posto da ampliada igual ao da de coeficientes).

Exercícios relacionados