O sistema depende do parâmetro a\in\mathbb{R} e envolve três equações lineares em (x,y,t). Vamos usar a teoria de sistemas lineares: calcular o determinante da matriz de coeficientes para identificar quando há solução única, múltiplas soluções ou nenhuma, e em seguida resolver por eliminação.
Caso a = 0\), o sistema fica
\[\begin{cases} x + 2y + t = 1,\\\\ 2x + 4y + 2t = 2,\\\\ 2x + 6y + 3t = 3. \end{cases}
A segunda é 2\] vezes a primeira, e a terceira leva a
\[2y + t = 1.\]
Com \(x+2y+t=1 deduz-se x=0. Logo a família de soluções é
x = 0,\quad t = 1 - 2y,\quad y\in\mathbb{R}.
Passo 5
Caso a = 1\), o sistema fica
\[\begin{cases} x + 2y + t = 1,\\\\ 3x + 3y + 2t = 2,\\\\ 3x + 6y + 3t = 3. \end{cases}
A terceira é (3] vezes a primeira, e a segunda não é múltipla, o que leva a x = y, \quad t = 1 - 3y.
Logo a família de soluções é x = y,\quad t = 1 - 3y,\quad y\in\mathbb{R}.