Resolver, ao variar o parâmetro a \in \mathbb{R}, o seguinte sistema:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+t-1=0 \\ (2+a) x+(4-a) y+2 t-2=0 \\ (2+a) x+6 y+3 t-3=0 \end{array}\right.

Passo 1

O sistema depende do parâmetro a\in\mathbb{R} e envolve três equações lineares em (x,y,t). Vamos usar a teoria de sistemas lineares: calcular o determinante da matriz de coeficientes para identificar quando há solução única, múltiplas soluções ou nenhuma, e em seguida resolver por eliminação.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\\\ 2+a & 4-a & 2 \\\\ 2+a & 6 & 3 \end{pmatrix}
Calculando \det(A) por expansão, encontra-se
\det(A) = a(a-1).

Passo 3

Se \det(A)\neq 0, isto é, a\neq 0 e a\neq 1, o sistema tem solução única. Para encontrá-la, da equação (1)
x + 2y + t = 1
segue
x = 1 - 2y - t.
Substituindo em (2)
(2+a)(1-2y-t) \;+\;(4-a)y\;+\;2t \;=\;2
obtém-se
a\,(1 - 3y - t) = 0.
Como a\neq 0, tem-se
t = 1 - 3y.
De volta em (1),
x = 1 - 2y - (1 - 3y) = y.
Finalmente, em (3) surge
(2+a)x + 6y + 3t = 3 \;\Longrightarrow\; (a-1)\,y = 0,
e, para a\neq 1, conclui-se
y = 0,\quad x = 0,\quad t = 1.

Passo 4

Caso a = 0\), o sistema fica \[\begin{cases} x + 2y + t = 1,\\\\ 2x + 4y + 2t = 2,\\\\ 2x + 6y + 3t = 3. \end{cases}
A segunda é 2\] vezes a primeira, e a terceira leva a \[2y + t = 1.\] Com \(x+2y+t=1 deduz-se x=0. Logo a família de soluções é
x = 0,\quad t = 1 - 2y,\quad y\in\mathbb{R}.

Passo 5

Caso a = 1\), o sistema fica \[\begin{cases} x + 2y + t = 1,\\\\ 3x + 3y + 2t = 2,\\\\ 3x + 6y + 3t = 3. \end{cases}
A terceira é (3] vezes a primeira, e a segunda não é múltipla, o que leva a
x = y, \quad t = 1 - 3y.
Logo a família de soluções é
x = y,\quad t = 1 - 3y,\quad y\in\mathbb{R}.

Resposta

Para a\neq 0 e a\neq 1, há solução única
(x,y,t) = (0,0,1).
Para a = 0, há infinitas soluções
(x,y,t) = \bigl(0,\;y,\;1-2y\bigr),\;y\in\mathbb{R}.
Para a = 1, há infinitas soluções
(x,y,t) = \bigl(y,\;y,\;1-3y\bigr),\;y\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados