Sejam a, b \in \mathbb{R}. Mostre que o sistema a seguir nunca admite solução:
\left\{\begin{array}{l} x+a z=1-a \\ y+b z=-b \\ x+y+z=1-b \\ 2 x+y+(a+1) z=1-a-b \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em (x,y,z)\) com parâmetros reais \(a,b\): \[\begin{cases} x + a\,z = 1 - a,\\\ y + b\,z = -b,\\\ x + y + z = 1 - b,\\\\ 2x + y + (a+1)z = 1 - a - b. \end{cases}
O conteúdo é verificar consistência usando eliminação de Gauss: vamos isolar x\] e \(y pelas duas primeiras equações e substituir nas duas últimas, obtendo duas condições sobre z que se mostram incompatíveis para todo a,b.

Passo 2

Da primeira equação isolamos
x = 1 - a - a\,z,
e da segunda isolamos
y = -b - b\,z.

Passo 3

Substituindo esses x e y na terceira e na quarta equações, obtemos dois balanços em z:
(1 - a - b) \;+\;(1 - a - b)\,z \;=\;1 - b,
(2 - 2a - b)\;+\;(1 - a - b)\,z \;=\;1 - a - b.

Passo 4

Caso 1 - a - b \neq 0, da primeira linha temos
1 + z = \frac{1 - b}{1 - a - b} \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{a}{1 - a - b}.
Substituindo esse z na segunda linha dá
2 - 2a - b = (1 - a - b)\bigl(1 - z\bigr) = (1 - a - b)\Bigl(1 - \frac{a}{1 - a - b}\Bigr) =1 -2a - b,
isto é, 2-2a-b = 1-2a-b, ou seja 2=1, contradição.

Passo 5

Caso 1 - a - b = 0, da primeira linha obtemos
0 = 1 - b \quad\Longrightarrow\quad b = 1 \quad\text{e}\quad a = 1 - b = 0.
Com a=0,b=1, a quarta equação fica
2x + y + z = 1 - 0 - 1 = 0.
Mas das duas primeiras temos x=1 e y=-1-z, de modo que
2\cdot1 + (-1 - z) + z = 1 \neq 0,
novamente contradição.

Resposta

O sistema é incompatível e, portanto, não admite solução para nenhum par (a,b)\in\mathbb{R}^2.

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