Verifique se as equações abaixo são exatas e em seguida encontre sua solução sujeita à condição inicial.
(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
(x+y)^{2}\,dx+\left(2xy+x^{2}-1\right)\,dy=0,
com a condição inicial \,y(1)=1.
O que pede:
  • Verificar se a equação é exata.
  • Encontrar a solução (a família de curvas implícita) e aplicar a condição inicial para obter a solução particular.
Dados relevantes que vamos usar explicitamente:
M(x,y)=(x+y)^{2},\qquad N(x,y)=2xy+x^{2}-1.

Passo 2

Explicação do teste de exatidão (rápido, na prática):
Uma equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Psi}{\partial y}=N.
Um teste prático é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos calcular essas derivadas parciais passo a passo.
Calcule \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}. Como M=(x+y)^{2}, primeiro expandimos ou usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial M}{\partial y}=2(x+y)\cdot\frac{\partial (x+y)}{\partial y}=2(x+y).
Calcule \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}. Como N=2xy+x^{2}-1, derivando em relação a x tratando y como constante:
\frac{\partial N}{\partial x}=2y+2x=2(x+y).
Como \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=2(x+y)=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata.

Passo 3

Agora que é exata, existe \Psi(x,y) com \Psi_x=M. Vamos encontrar \Psi integrando M em relação a x, tratando y como constante. Primeiro expandimos M:
M=(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Integramos termo a termo em x:
\int M\,dx=\int (x^{2}+2xy+y^{2})\,dx=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y+xy^{2}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos qualquer dependência puramente em y). Assim
\Psi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y+xy^{2}+h(y).

Passo 4

Para determinar h(y) usamos a condição \Psi_{y}=N. Calcule \Psi_{y}:
\Psi_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y+xy^{2}+h(y)\right)=x^{2}+2xy+h'(y).
Igualando com N:
x^{2}+2xy+h'(y)=2xy+x^{2}-1.
Cancelando termos iguais ( x^{2}+2xy) obtemos
h'(y)=-1.
Integramos em y:
h(y)=-y+C,
onde C é uma constante numérica.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi obtemos a função potencial completa:
\Psi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y+xy^{2}-y+C.
A solução geral implícita da equação exata é
\Psi(x,y)=\text{constante},
ou seja
\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y+xy^{2}-y=C.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial \,y(1)=1 para achar C. Substituímos x=1 e y=1 em \Psi:
\Psi(1,1)=\frac{1^{3}}{3}+1^{2}\cdot 1+1\cdot 1^{2}-1+C=\frac{1}{3}+1+1-1+C=\frac{4}{3}+C.
Como \Psi(1,1) deve ser igual à constante C da solução implícita, igualamos:
\frac{4}{3}+C=C \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{3}=0,
o que mostra que, para consistência, interpretamos corretamente que a constante na expressão final é o valor numérico de \Psi. É mais claro tomar a solução implícita na forma
\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y+xy^{2}-y=C_{0},
e então determinar C_{0} a partir de (1,1). Fazendo isso:
C_{0}=\Psi(1,1)=\frac{1}{3}+1+1-1=\frac{4}{3}.
Portanto a constante numérica é C_{0}=\frac{4}{3}.
Observação didática rápida: a confusão acima veio de usar C para duas coisas; o procedimento correto é calcular o valor numérico de \Psi em (1,1) e usá-lo como o lado direito da solução implícita.

Passo 7

A solução particular que satisfaz \,y(1)=1 é a equação implícita com C_{0}=\frac{4}{3}:
\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y+xy^{2}-y=\frac{4}{3}.
Se você quiser expressar y explicitamente, note que isso é uma equação quadrática em y:
x\,y^{2}+(x^{2}-1)y+\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{4}{3}\right)=0,
que pode ser resolvida pela fórmula quadrática, e a condição inicial selecionaria o ramo (sinal) adequado. Mas para a maioria das provas a forma implícita dada acima é suficiente e mais limpa.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}+x^{2}y+xy^{2}-y=\frac{4}{3}

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