Verifique se as equações abaixo são exatas e em seguida encontre sua solução sujeita à condição inicial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
com a condição inicial
.
O que pede:
- Verificar se a equação é exata.
- Encontrar a solução (a família de curvas implícita) e aplicar a condição inicial para obter a solução particular.
Dados relevantes que vamos usar explicitamente:
Passo 2
Explicação do teste de exatidão (rápido, na prática):
Uma equação na forma é exata se existe uma função
tal que
Uma equação na forma
Um teste prático é verificar se
Vamos calcular essas derivadas parciais passo a passo.
Calcule
. Como
, primeiro expandimos ou usamos a regra da cadeia:
Calcule
. Como
, derivando em relação a
tratando
como constante:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora que é exata, existe
com
. Vamos encontrar
integrando
em relação a
, tratando
como constante. Primeiro expandimos
:
Integramos termo a termo em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos qualquer dependência puramente em
). Assim
Passo 4
Para determinar
usamos a condição
. Calcule
:
Igualando com
:
Cancelando termos iguais (
) obtemos
Integramos em
:
onde
é uma constante numérica.
Passo 5
Substituindo
em
obtemos a função potencial completa:
A solução geral implícita da equação exata é
ou seja
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
para achar
. Substituímos
e
em
:
Como
deve ser igual à constante
da solução implícita, igualamos:
o que mostra que, para consistência, interpretamos corretamente que a constante na expressão final é o valor numérico de
. É mais claro tomar a solução implícita na forma
e então determinar
a partir de
. Fazendo isso:
Portanto a constante numérica é
.
Observação didática rápida: a confusão acima veio de usar
para duas coisas; o procedimento correto é calcular o valor numérico de
em
e usá-lo como o lado direito da solução implícita.
Passo 7
A solução particular que satisfaz
é a equação implícita com
:
Se você quiser expressar
explicitamente, note que isso é uma equação quadrática em
:
que pode ser resolvida pela fórmula quadrática, e a condição inicial selecionaria o ramo (sinal) adequado. Mas para a maioria das provas a forma implícita dada acima é suficiente e mais limpa.