Definindo as funções
\operatorname{tri}(t)=\left\{\begin{array}{ll}1- & |t|,|t|<1 \\\\ 0, & |t| \geq 1\end{array}\right.
e
\operatorname{ret}(t)=\left\{\begin{array}{l}1,|t| \leq 1 / 2 \\\\ 0,|t|>1 / 2\end{array}\right. :
Determine o valor de x(t)=-5 \operatorname{ret}(t / 2)^{*}(\delta(t+1)+\delta(t)) para t=1 / 2, t=-1 / 2 e t=-5 / 2.

Passo 1

O enunciado dá as funções (copiado do enunciado):
\operatorname{tri}(t)=\begin{cases}1-|t|,&|t|<1\\[4pt]0,&|t|\ge 1\end{cases}
\operatorname{ret}(t)=\begin{cases}1,&|t|\le 1/2\\[4pt]0,&|t|>1/2\end{cases}
e define
x(t)=-5\,\operatorname{ret}(t/2)^{*}\bigl(\delta(t+1)+\delta(t)\bigr).
O que se pede: calcular o valor de x(t) para
\;t=\tfrac{1}{2},\;t=-\tfrac{1}{2} e \;t=-\tfrac{5}{2}.
As informações relevantes que temos são as expressões acima e os valores de t para os quais devemos avaliar x(t).]

Passo 2

Vamos usar a propriedade fundamental da convolução com deltas. Se f(t) é uma função qualquer e \delta(t-a) é o delta de Dirac deslocado, então
(f*\delta(t-a))(t)=f(t-a).
Explicando rapidinho por que: por definição (f*g)(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau. Tomando g(u)=\delta(u-a) g(t-\tau)=\delta(t-\tau-a)=\delta\bigl((t-a)-\tau\bigr), e pela propriedade de amostragem do delta a integral retorna f(t-a).

Passo 3

Aplique essa propriedade à soma de deltas. Para g(t)=\delta(t+1)+\delta(t) temos
\bigl(f*(\delta(t+1)+\delta(t))\bigr)(t)=f(t+1)+f(t),
pois \delta(t+1)=\delta(t-(-1)) desloca por -1 dando f(t-(-1))=f(t+1), e \delta(t) f(t).

Passo 4

No nosso caso f(t)=\operatorname{ret}(t/2)\). Portanto, usando o passo anterior, \[x(t)=-5\bigl(\operatorname{ret}((t+1)/2)+\operatorname{ret}(t/2)\bigr).
Agora vamos estudar quando \operatorname{ret} vale 1 ou 0. Pela definição,
\operatorname{ret}(u)=\begin{cases}1,&|u|\le 1/2\\[4pt]0,&|u|>1/2\end{cases}.
Logo:
\operatorname{ret}(t/2)=1\quad\Leftrightarrow\quad \bigl|t/2\bigr|\le 1/2 \quad\Leftrightarrow\quad |t|\le 1.
\operatorname{ret}\bigl((t+1)/2\bigr)=1\quad\Leftrightarrow\quad \bigl|t+1\bigr|\le 1 \quad\Leftrightarrow\quad -1\le t+1\le 1 \quad\Leftrightarrow\quad -2\le t\le 0.
Anota aí: \operatorname{ret}(t/2)\] é a retângulo centrado em \(0 que vale 1 para t\in[-1,1]; \operatorname{ret}((t+1)/2) vale 1 para t\in[-2,0].]

Passo 5

Avaliação em t=\tfrac{1}{2}.
Calcule os argumentos:
\frac{t}{2}=\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4},\qquad \frac{t+1}{2}=\frac{1/2+1}{2}=\frac{3/2}{2}=\frac{3}{4}.
Compare com a condição |\cdot|\le 1/2:
\bigl|\tfrac{1}{4}\bigr|=\tfrac{1}{4}\le\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{ret}(\tfrac{t}{2})=1.
\bigl|\tfrac{3}{4}\bigr|=\tfrac{3}{4}>\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{ret}(\tfrac{t+1}{2})=0.
Portanto
x\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-5\bigl(0+1\bigr)=-5.

Passo 6

Avaliação em t=-\tfrac{1}{2}.
Calcule os argumentos:
\frac{t}{2}=\frac{-1/2}{2}=-\frac{1}{4},\qquad \frac{t+1}{2}=\frac{-1/2+1}{2}=\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4}.
Compare:
\bigl|-\tfrac{1}{4}\bigr|=\tfrac{1}{4}\le\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{ret}(\tfrac{t}{2})=1.
\bigl|\tfrac{1}{4}\bigr|=\tfrac{1}{4}\le\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{ret}(\tfrac{t+1}{2})=1.
Portanto
x\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=-5\bigl(1+1\bigr)=-10.

Passo 7

Avaliação em t=-\tfrac{5}{2}.
Calcule os argumentos:
\frac{t}{2}=\frac{-5/2}{2}=-\frac{5}{4}=-1{,}25,\qquad \frac{t+1}{2}=\frac{-5/2+1}{2}=\frac{-3/2}{2}=-\frac{3}{4}=-0{,}75.
Compare:
\bigl|-\tfrac{5}{4}\bigr|=\tfrac{5}{4}> \tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{ret}(\tfrac{t}{2})=0.
\bigl|-\tfrac{3}{4}\bigr|=\tfrac{3}{4}> \tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{ret}(\tfrac{t+1}{2})=0.
Portanto
x\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr)=-5\bigl(0+0\bigr)=0.

Resposta

t=\tfrac{1}{2}:\;-5
t=-\tfrac{1}{2}:\;-10
t=-\tfrac{5}{2}:\;0

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