Definindo as funções \operatorname{tri}(t)=\left\{\begin{array}{ll}1- & |t|,|t|<1 \\\\ 0, & |t| \geq 1\end{array}\right.
e \operatorname{ret}(t)=\left\{\begin{array}{l}1,|t| \leq 1 / 2 \\\\ 0,|t|>1 / 2\end{array}\right. :
Determine o valor de \mathrm{g}(\mathrm{t})=2 \operatorname{tri}(\mathrm{t} / 4)^{*} \delta(\mathrm{t}-2) para \mathrm{t}=1 e \mathrm{t}=-1
Passo 1
O enunciado dá as funções [\operatorname{tri}(t)) e \operatorname{ret}(t) e pede para determinar o valor de \mathrm{g}(t)=2\,\operatorname{tri}(t/4)^{*}\delta(t-2) nos pontos t=1 e t=-1.
Usando a propriedade do delta (só “pega” o valor onde seu argumento é zero), fazemos a mudança de variável implicada: o integrando só contribui quando t-\tau-a=0, ou seja \tau=t-a. Logo
(f * \delta(\cdot - a))(t)=f(t-a).
Isto é, convoluir com \delta(t-a) desloca a função f em +a: o resultado é f avaliada em t-a.
Agora convém entender a expressão \operatorname{tri}\!\left(\dfrac{t-2}{4}\right)\) explicitamente. Usando a definição de \(\operatorname{tri}\):
\[\operatorname{tri}(u)=\begin{cases} 1-|u|, & |u|<1,\\[4pt] 0, & |u|\ge 1, \end{cases}
faço a troca u=(t-2)/4\]. Então
\[\operatorname{tri}\!\left(\frac{t-2}{4}\right)= \begin{cases} 1-\left|\dfrac{t-2}{4}\right|, & \left|\dfrac{t-2}{4}\right|<1,\\[8pt] 0, & \left|\dfrac{t-2}{4}\right|\ge 1. \end{cases}\]
A condição \(\left|\dfrac{t-2}{4}\right|<1 equivale a |t-2|<4, isto é -2<t<6. Ou seja, \operatorname{tri}\!\bigl(\tfrac{t-2}{4}\bigr) é uma “base triangular” centrada em t=2 com suporte aberto entre -2 e 6, e a forma dentro do suporte é
Agora avaliamos nos pontos pedidos. Primeiro t=1. Verificamos que 1 está no intervalo -2<t<6, então usamos a fórmula:
calcule o argumento de \operatorname{tri}: