Classifique os seguintes subconjuntos de vetores em L.I. ou L.D.:
A=(ccc-1 & 2 & 1 3 & -2 & 4), B=(ccc0 & -1 & 2 -2 & 1 & 0), C=(ccc-1 & 0 & 5 -1 & 0 & 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar um conjunto de três matrizes A , B e C como linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas classificações na matéria de Álgebra Linear. Basicamente, se nenhuma das matrizes puder ser escrita como uma combinação linear das outras, elas são L.I. Caso contrário, são L.D.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar cada matriz A , B e C em vetores. Como cada matriz é 2x3, podemos “achatar” elas em vetores de 6 componentes. Assim:
A = (ccc -1 & 2 & 1 3 & -2 & 4 ) a = (-1, 2, 1, 3, -2, 4)
B = (ccc 0 & -1 & 2 -2 & 1 & 0 ) b = (0, -1, 2, -2, 1, 0)
C = (ccc -1 & 0 & 5 -1 & 0 & 3 ) c = (-1, 0, 5, -1, 0, 3)

Passo 3

Agora, queremos saber se existe algum conjunto de números k1, k2, k3 diferentes de zero que satisfaz a equação:
k1 a + k2 b + k3 c = 0
Isso significa que cada componente resultante dessa combinação linear deve ser zero. Vamos montar essas equações.

Passo 4

Escrevendo as equações para cada componente:
  1. -k1 + 0k2 - k3 = 0
  2. 2k1 - k2 + 0k3 = 0
  3. k1 + 2k2 + 5k3 = 0
  4. 3k1 - 2k2 - k3 = 0
  5. -2k1 + k2 + 0k3 = 0
  6. 4k1 + 0k2 + 3k3 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos começar simplificando algumas equações.
Da equação 1:
-k1 - k3 = 0 Rightarrow k1 = -k3
Da equação 2:
2k1 - k2 = 0 Rightarrow k2 = 2k1
Da equação 5:
-2k1 + k2 = 0
Substituindo k2 = 2k1 :
-2k1 + 2k1 = 0 Rightarrow 0 = 0
Essa equação não nos dá nova informação.

Passo 6

Vamos substituir k1 = -k3 e k2 = 2k1 na equação 3:
k1 + 2(2k1) + 5k3 = 0 k1 + 4k1 + 5k3 = 0 5k1 + 5k3 = 0
Como k1 = -k3 :
5(-k3) + 5k3 = 0 -5k3 + 5k3 = 0 0 = 0
Ainda sem nova informação.

Passo 7

Vamos agora na equação 4:
3k1 - 2k2 - k3 = 0
Substituindo k1 = -k3 e k2 = 2k1 = -2k3 :
3(-k3) - 2(-2k3) - k3 = 0 -3k3 + 4k3 - k3 = 0 0 = 0
Mais uma vez, nada de novo.

Passo 8

Finalmente, a equação 6:
4k1 + 3k3 = 0
Substituindo k1 = -k3 :
4(-k3) + 3k3 = 0 -4k3 + 3k3 = 0 - k3 = 0 Rightarrow k3 = 0
Então, k1 = -k3 = 0 e k2 = 2k1 = 0 .

Resposta

Como a única solução para k1, k2, k3 é a trivial ( k1 = k2 = k3 = 0 ), o conjunto de matrizes A, B, C é linearmente independente (L.I.).

Exercícios relacionados