Verifique que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Então, a gente tem o conjunto
e precisa verificar se ele é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que basicamente dizem que, para um conjunto ser um subespaço, ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Para verificar se ele está em
, substituímos na equação:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então:
Vamos somar
e
:
Agora, somamos as componentes:
Portanto,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em
e multiplicarmos por um escalar, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
e
um escalar. Então:
Vamos somar as componentes:
Assim,
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.