Verifique que S=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0 é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto S = (x, y, z) in R^3 ; x + y + z = 0 e precisa verificar se ele é um subespaço vetorial de R^3 . Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que basicamente dizem que, para um conjunto ser um subespaço, ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em S . O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Para verificar se ele está em S , substituímos na equação:
0 + 0 + 0 = 0
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em S .

Passo 3

Agora, vamos verificar se S é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em S , a soma deles também deve estar em S .
Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em S . Então:
x1 + y1 + z1 = 0 e x2 + y2 + z2 = 0
Vamos somar u e v :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Agora, somamos as componentes:
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0
Portanto, u + v também está em S .

Passo 4

Por último, vamos ver se S é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em S e multiplicarmos por um escalar, o resultado também deve estar em S .
Seja u = (x, y, z) em S e c um escalar. Então:
cu = (cx, cy, cz)
Vamos somar as componentes:
cx + cy + cz = c(x + y + z) = c cdot 0 = 0
Assim, cu também está em S .

Resposta

Como S contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que S = (x, y, z) in R^3 ; x + y + z = 0 é um subespaço vetorial de R^3 .

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