Classifique os seguintes subconjuntos de vetores em L.I. ou L.D.:
(b) 2+x-x^2,-4-x+4 x^2, x+2 x^2

Passo 1

O enunciado nos dá três polinômios em P2:
,2 + x - x^2,,-4 - x + 4x^2,,x + 2x^2.
Queremos verificar se existe combinação linear não trivial desses vetores que seja o polinômio zero. Se existir, o conjunto é L.D.; caso contrário, é L.I.

Passo 2

Escolhemos a base padrão 1,x,x^2 e representamos cada polinômio por suas coordenadas:
v1 = 2 + x - x^2 ;longmapsto;(2,,1,,-1),
v2 = -4 - x + 4x^2 ;longmapsto;(-4,,-1,,4),
v3 = x + 2x^2 ;longmapsto;(0,,1,,2)

Passo 3

Procuramos escalares c1,c2,c3 tais que
c1,v1 + c2,v2 + c3,v3 = 0
Isso gera o sistema em coordenadas:
2c1 - 4c2 + 0cdot c3 = 0,
1c1 - 1c2 + 1c3 = 0,
-1c1 + 4c2 + 2c3 = 0

Passo 4

Da primeira equação vem
c1 = 2,c2
Substituindo na segunda:
2c2 - c2 + c3 = 0 Longrightarrow c3 = -,c2
Na terceira, ao usar c1=2c2 e c3=-c2,
-2c2 + 4c2 + 2(-c2) = 0 Longrightarrow 0 = 0,
mostrando que há soluções não triviais (por exemplo c2=1,c1=2,c3=-1). Portanto os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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