Sendo
pi:c x=1+alpha-2 beta y=1-2 beta z=4+2 alpha-2 beta
equações paramétricas de um plano pi, obtenha uma equação geral para ele.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas de um plano π em função dos parâmetros α e β. O objetivo é converter essas equações em uma única equação geral do tipo ax+by+cz+d=0. Vamos precisar extrair um ponto do plano e dois vetores diretores a partir das equações paramétricas, depois encontrar o vetor normal e, por fim, montar a equação geral.

Passo 2

Das equações paramétricas
x=1+alpha-2beta, y=1-2beta, z=4+2alpha-2beta,
reconhecemos:
• Um ponto P₀ no plano basta escolher α=0 e β=0, dando P₀=(1,1,4).
• Um vetor diretor v₁ surge variando α e mantendo β fixo (β=0): v₁=(1,0,2).
• Outro vetor diretor v₂ surge variando β e mantendo α fixo (α=0): v₂=(-2,-2,-2).

Passo 3

O vetor normal n ao plano é perpendicular a v₁ e v₂ e obtém-se pelo produto vetorial:
n = v₁ times v₂ = (1,0,2) times (-2,-2,-2)
Montando o determinante:
n = l(0cdot(-2)-2cdot(-2),,-l(1cdot(-2)-2cdot(-2)r),,1cdot(-2)-0cdot(-2)r) = (4,-2,-2)
Podemos simplificar dividindo todos os componentes por 2: n=(2,-1,-1).

Passo 4

Com o normal n=(2,-1,-1) e o ponto P₀=(1,1,4), a equação geral do plano é
2(x-1)-1(y-1)-1(z-4)=0
Expandindo:
2x-2 -y+1 -z+4 = 0
e agrupando termos:
2x - y - z + 3 = 0

Resposta

2x - y - z + 3 = 0

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