As perguntas implícitas são: T é injetora? T é um isomorfismo (ou seja, bijetora / invertível)?
As informações dadas são a fórmula de T (os componentes em função de x,y,z) e que o domínio e contradomínio são \mathbb{R}^{3}.]
Passo 2
Primeiro vamos escrever T na forma matricial em relação à base canônica. Para isso lembramos que a matriz A de T tem como colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1). Calculando:
Vou te dar um pequeno lembrete de teoria muito útil (passo-a-passo, como você pediu): para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita (aqui \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}),
T é injetora se e somente se \ker(T)=\{\mathbf{0}\}.
T é um isomorfismo (invertível) se e somente se a matriz A associada é invertível.
Uma matriz 3\times3 é invertível se e somente se \det(A)\neq 0.
Essas equivalências nos dão métodos práticos: podemos resolver o sistema A\mathbf{v}=\mathbf{0} para ver o núcleo, ou calcular \det(A). Vou fazer os dois (o cálculo do núcleo também é útil para treinar resolução sem calculadora).
Passo 4
Calculemos \ker(T)\) resolvendo \(T([x,y,z]^T)=\mathbf{0}\). Isso dá o sistema linear (extraído diretamente da fórmula de \(T\)):
\[\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] y+z=0,\\[4pt] x-2y=0. \end{cases}
Agora resolvemos passo a passo:
Da primeira equação temos x=y\].
- Substituindo \(x=y na terceira equação x-2y=0 fica y-2y=0, ou seja -y=0, portanto y=0.
- Com y=0 vem x=0.
- Da segunda equação y+z=0 obtemos z=-y; com y=0 resulta z=0.
Assim a única solução é x=0,y=0,z=0. Logo
\ker(T)=\{\mathbf{0}\}.
Pausa motivacional: isso já prova que T é injetora — você resolveu direitinho o sistema! Muito bom.]
Passo 5
Agora vamos confirmar a invertibilidade via determinante (é um método automático e rápido em provas): calculamos \det(A) para
Interpretação e conclusão com base na teoria (resumindo de forma clara): como \ker(T)=\{\mathbf{0}\}, T é injetora. Como \det(A)\neq 0, A é invertível, portanto T é bijetora e, consequentemente, um isomorfismo linear entre \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{3}.
Resposta
T é injetora. T é um isomorfismo (invertível / bijetora).