Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras fismos
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x-y \\\ y+z \\\ x-2 y\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique a transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por
T\!\left(\begin{bmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x-y\\[2pt]y+z\\[2pt]x-2y\end{bmatrix}.
As perguntas implícitas são: T é injetora? T é um isomorfismo (ou seja, bijetora / invertível)?
As informações dadas são a fórmula de T (os componentes em função de x,y,z) e que o domínio e contradomínio são \mathbb{R}^{3}.]

Passo 2

Primeiro vamos escrever T na forma matricial em relação à base canônica. Para isso lembramos que a matriz A de T tem como colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1). Calculando:
T(e_1)=T\!\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}, \qquad T(e_2)=\begin{bmatrix}-1\\\ 1\\\ -2\end{bmatrix}, \qquad T(e_3)=\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}.
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\[3pt]0 & 1 & 1\\[3pt]1 & -2 & 0\end{bmatrix}.]

Passo 3

Vou te dar um pequeno lembrete de teoria muito útil (passo-a-passo, como você pediu): para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita (aqui \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}),
  • T é injetora se e somente se \ker(T)=\{\mathbf{0}\}.
  • T é um isomorfismo (invertível) se e somente se a matriz A associada é invertível.
  • Uma matriz 3\times3 é invertível se e somente se \det(A)\neq 0.
Essas equivalências nos dão métodos práticos: podemos resolver o sistema A\mathbf{v}=\mathbf{0} para ver o núcleo, ou calcular \det(A). Vou fazer os dois (o cálculo do núcleo também é útil para treinar resolução sem calculadora).

Passo 4

Calculemos \ker(T)\) resolvendo \(T([x,y,z]^T)=\mathbf{0}\). Isso dá o sistema linear (extraído diretamente da fórmula de \(T\)): \[\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] y+z=0,\\[4pt] x-2y=0. \end{cases}
Agora resolvemos passo a passo:
  • Da primeira equação temos x=y\]. - Substituindo \(x=y na terceira equação x-2y=0 fica y-2y=0, ou seja -y=0, portanto y=0.
    - Com y=0 vem x=0.
    - Da segunda equação y+z=0 obtemos z=-y; com y=0 resulta z=0.
Assim a única solução é x=0,y=0,z=0. Logo
\ker(T)=\{\mathbf{0}\}.
Pausa motivacional: isso já prova que T é injetora — você resolveu direitinho o sistema! Muito bom.]

Passo 5

Agora vamos confirmar a invertibilidade via determinante (é um método automático e rápido em provas): calculamos \det(A) para
A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\[3pt]0 & 1 & 1\\[3pt]1 & -2 & 0\end{bmatrix}.
Expandindo o determinante (por exemplo pela primeira linha):
\det(A)=1\cdot\det\begin{bmatrix}1 & 1\\[3pt]-2 & 0\end{bmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{bmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{bmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculando as determinantes 2\times2:
\det\begin{bmatrix}1 & 1\\[3pt]-2 & 0\end{bmatrix}=1\cdot0-1\cdot(-2)=2,
\det\begin{bmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{bmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot 2 -(-1)\cdot(-1)=2 - 1 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível.]

Passo 6

Interpretação e conclusão com base na teoria (resumindo de forma clara): como \ker(T)=\{\mathbf{0}\}, T é injetora. Como \det(A)\neq 0, A é invertível, portanto T é bijetora e, consequentemente, um isomorfismo linear entre \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{3}.

Resposta

T é injetora.
T é um isomorfismo (invertível / bijetora).

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