Classifique a sequência em crecente ou descrescente, determine se a mesma é limitada, calcule seu limite da sequência ou mostre que ela é divergente.
d) {1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, ...}

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a sequência {1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, ...} e precisamos descobrir se ela está aumentando ou diminuindo, se está limitada (ou seja, tem um valor máximo e mínimo que não ultrapassa), e calcular o limite dessa sequência ou ver se ela não para em lugar nenhum.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência é formada. Observando os termos, percebemos que cada termo é obtido multiplicando o anterior por 2/3. Então, dá para escrever a regra geral da sequência assim:
Isso significa que cada termo é 2/3 elevado à posição menos um.

Passo 3

Agora, para ver se a sequência está crescendo ou diminuindo, vamos olhar para a razão 2/3. Como 2/3 é menor que 1, quando multiplicamos um número por 2/3, ele fica menor. Assim, cada termo da sequência é menor que o anterior, ou seja, a sequência está decrescente.

Passo 4

Vamos verificar se a sequência está limitada. Sabemos que todos os termos são positivos porque estamos elevando frações positivas a uma potência. Além disso, como a sequência está diminuindo e o primeiro termo é 1, ela nunca vai passar de 1. O menor valor que a sequência pode alcançar é 0, mas nunca vai chegar a zero. Portanto, a sequência está limitada entre 0 e 1.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito. Como 2/3 é uma fração menor que 1, quando elevamos 2/3 a uma potência muito grande, o resultado vai se aproximando cada vez mais de 0. Assim:
Isso significa que a sequência converge para 0.

Resposta

A sequência é decrescente, está limitada entre 0 e 1, e seu limite é 0.

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