Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por
volts,
e
em centímetros.
(a) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos
.
(a) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos
Passo 1
Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. A gente tem um potencial elétrico numa lâmina plana, dado por
volts, onde
e
estão em centímetros. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a taxa de variação desse potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos
. Isso envolve calcular a derivada parcial de
em relação a
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
mostra como
muda quando apenas
varia, mantendo
constante.
Nossa função é:
Vamos calcular
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo de
em relação a
:
- A derivada de uma constante é zero, então a derivada de 80 em relação a
é 0. - Para o termo
, precisamos usar a regra do produto, já que temos multiplicado por uma função de e .
A regra do produto diz que:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos
é: