Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por V(x, y)=80-20 x e^-x^2+y^220 em volts, x e y em centímetros.
(a) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos x.
R: partial Vpartial x=2(x^2-10) e^-x^2+y^220

Passo 1

Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. A gente tem um potencial elétrico numa lâmina plana, dado por volts, onde e estão em centímetros. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a taxa de variação desse potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos . Isso envolve calcular a derivada parcial de em relação a . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como V(x, y) = 80 - 20x e^-x^2+y^220 , a derivada parcial em relação a mostra como muda quando apenas varia, mantendo constante.
Nossa função é:
Vamos calcular .

Passo 3

Vamos derivar cada termo de ddx(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v' em relação a partial Vpartial x = -20 ( u' cdot v + u cdot v' ) :
  1. A derivada de uma constante é zero, então a derivada de 80 em relação a partial Vpartial x = -20 ( 1 cdot e^-x^2+y^220 + x cdot ( -x10 e^-x^2+y^220 ) ) é 0.
  2. Para o termo partial Vpartial x = -20 ( e^-x^2+y^220 - x^210 e^-x^2+y^220 ) , precisamos usar a regra do produto, já que temos multiplicado por uma função de e .
A regra do produto diz que:
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
partial Vpartial x = -20 e^-x^2+y^220 + 2x^2 e^-x^2+y^220
partial Vpartial x = ( 2x^2 - 20 ) e^-x^2+y^220
partial Vpartial x = 2(x^2 - 10) e^-x^2+y^220

Resposta

A taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos partial Vpartial x = 2(x^2 - 10) e^-x^2+y^220 é:

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