a) Toda sequência convergente é limitada;
b) Toda sequência limitada é convergente;
c) A soma de duas sequências convergentes é convergente;
d) A soma de duas sequências divergentes é divergente;
e) Toda sequência limitada é monótona;
f) Se
então
é convergente;
g) Toda sequência divergente é não limitada;
b) Toda sequência limitada é convergente;
c) A soma de duas sequências convergentes é convergente;
d) A soma de duas sequências divergentes é divergente;
e) Toda sequência limitada é monótona;
f) Se
g) Toda sequência divergente é não limitada;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que exatamente a questão está pedindo. Temos várias afirmações sobre sequências, como convergência, limitação, monotonicidade e divergência. Para resolver essas afirmações, vamos precisar entender bem o que significam sequências convergentes, limitadas, monótonas e divergentes, além de como elas se relacionam entre si.
Passo 2
a) Toda sequência convergente é limitada.
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
converge para um número
se, à medida que
aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
.
Agora, uma sequência é limitada se existe um número real
tal que todos os termos da sequência estão entre
e
.
Vamos ver por que uma sequência convergente é limitada. Se
converge para
, então para ser convergente, os termos
devem eventualmente ficar próximos de
. Isso significa que existe algum intervalo ao redor de
onde todos os termos da sequência se encontram, garantindo que a sequência não ‘exploda’ para infinito. Logo, a sequência está limitada.
Passo 3
b) Toda sequência limitada é convergente.
Aqui, temos que analisar se o contrário da afirmação anterior também é verdadeiro. Ou seja, se uma sequência é limitada, será necessariamente convergente?
Não, nem toda sequência limitada é convergente. Por exemplo, a sequência
é limitada porque seus termos são sempre
ou
, mas não converge porque não se aproxima de um único valor à medida que
cresce.
Passo 4
c) A soma de duas sequências convergentes é convergente.
Vamos supor que temos duas sequências convergentes,
que converge para
e
que converge para
. Queremos saber se a sequência
também converge.
De fato, sim. A soma de duas sequências convergentes converge para a soma dos limites. Ou seja,
. Isso acontece porque, à medida que
fica grande,
está próximo de
e
está próximo de
, então a soma também estará próxima de
.
Passo 5
d) A soma de duas sequências divergentes é divergente.
Vamos considerar duas sequências divergentes. Diferente do caso anterior, onde as sequências eram convergentes, aqui não temos garantia sobre os limites das sequências.
Por exemplo, considere
e
. Ambas divergem (uma vai para
e a outra para
), mas sua soma
é uma sequência constante que converge para
. Portanto, a soma de duas sequências divergentes pode, às vezes, ser convergente.
Passo 6
e) Toda sequência limitada é monótona.
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência é monótona se é sempre crescente ou sempre decrescente.
No entanto, nem toda sequência limitada é monótona. Por exemplo, a sequência
é limitada (sempre entre
e
), mas não é monótona porque os termos alternam entre
e
, nem sempre aumentando ou diminuindo.
Passo 7
f) Se
então
é convergente.
Aqui, a condição é que a diferença entre termos consecutivos da sequência tende a zero.
Embora essa condição sugira que os termos estão se aproximando uns dos outros, isso não garante necessariamente que a sequência converge. Por exemplo, considere a sequência
. Aqui,
, que tende a zero conforme
. No entanto,
diverge para
, ou seja, não converge para um limite finito.
Passo 8
g) Toda sequência divergente é não limitada.
Essa afirmação sugere que se uma sequência não converge, então ela não é limitada.
No entanto, isso não é verdade. Uma sequência pode ser divergente mesmo sendo limitada. Por exemplo, a sequência
é limitada (entre
e
), mas não converge, portanto é divergente.
Resposta
Analisando cada afirmação:
a) Verdadeiro – Sequências convergentes são sempre limitadas.
b) Falso – Sequências limitadas nem sempre são convergentes.
c) Verdadeiro – A soma de duas sequências convergentes resulta em uma sequência convergente.
d) Falso – A soma de duas sequências divergentes pode ser convergente.
e) Falso – Sequências limitadas nem sempre são monótonas.
f) Falso – A condição
não garante a convergência da sequência.
g) Falso – Sequências divergentes podem ser limitadas.