a) Toda sequência convergente é limitada;
b) Toda sequência limitada é convergente;
c) A soma de duas sequências convergentes é convergente;
d) A soma de duas sequências divergentes é divergente;
e) Toda sequência limitada é monótona;
f) Se |a_{n+1} - a_{n}| -> 0 então (a)_{n in N} é convergente;
g) Toda sequência divergente é não limitada;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que exatamente a questão está pedindo. Temos várias afirmações sobre sequências, como convergência, limitação, monotonicidade e divergência. Para resolver essas afirmações, vamos precisar entender bem o que significam sequências convergentes, limitadas, monótonas e divergentes, além de como elas se relacionam entre si.

Passo 2

a) Toda sequência convergente é limitada.
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge para um número se, à medida que aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de .
Agora, uma sequência é limitada se existe um número real tal que todos os termos da sequência estão entre e .
Vamos ver por que uma sequência convergente é limitada. Se converge para , então para ser convergente, os termos devem eventualmente ficar próximos de . Isso significa que existe algum intervalo ao redor de onde todos os termos da sequência se encontram, garantindo que a sequência não ‘exploda’ para infinito. Logo, a sequência está limitada.

Passo 3

b) Toda sequência limitada é convergente.
Aqui, temos que analisar se o contrário da afirmação anterior também é verdadeiro. Ou seja, se uma sequência é limitada, será necessariamente convergente?
Não, nem toda sequência limitada é convergente. Por exemplo, a sequência é limitada porque seus termos são sempre ou , mas não converge porque não se aproxima de um único valor à medida que cresce.

Passo 4

c) A soma de duas sequências convergentes é convergente.
Vamos supor que temos duas sequências convergentes, que converge para e que converge para . Queremos saber se a sequência também converge.
De fato, sim. A soma de duas sequências convergentes converge para a soma dos limites. Ou seja, . Isso acontece porque, à medida que fica grande, está próximo de e está próximo de , então a soma também estará próxima de .

Passo 5

d) A soma de duas sequências divergentes é divergente.
Vamos considerar duas sequências divergentes. Diferente do caso anterior, onde as sequências eram convergentes, aqui não temos garantia sobre os limites das sequências.
Por exemplo, considere e . Ambas divergem (uma vai para e a outra para ), mas sua soma é uma sequência constante que converge para . Portanto, a soma de duas sequências divergentes pode, às vezes, ser convergente.

Passo 6

e) Toda sequência limitada é monótona.
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência é monótona se é sempre crescente ou sempre decrescente.
No entanto, nem toda sequência limitada é monótona. Por exemplo, a sequência é limitada (sempre entre e ), mas não é monótona porque os termos alternam entre e , nem sempre aumentando ou diminuindo.

Passo 7

f) Se então é convergente.
Aqui, a condição é que a diferença entre termos consecutivos da sequência tende a zero.
Embora essa condição sugira que os termos estão se aproximando uns dos outros, isso não garante necessariamente que a sequência converge. Por exemplo, considere a sequência . Aqui, , que tende a zero conforme . No entanto, diverge para , ou seja, não converge para um limite finito.

Passo 8

g) Toda sequência divergente é não limitada.
Essa afirmação sugere que se uma sequência não converge, então ela não é limitada.
No entanto, isso não é verdade. Uma sequência pode ser divergente mesmo sendo limitada. Por exemplo, a sequência é limitada (entre e ), mas não converge, portanto é divergente.

Resposta

Analisando cada afirmação:
a) Verdadeiro – Sequências convergentes são sempre limitadas.
b) Falso – Sequências limitadas nem sempre são convergentes.
c) Verdadeiro – A soma de duas sequências convergentes resulta em uma sequência convergente.
d) Falso – A soma de duas sequências divergentes pode ser convergente.
e) Falso – Sequências limitadas nem sempre são monótonas.
f) Falso – A condição não garante a convergência da sequência.
g) Falso – Sequências divergentes podem ser limitadas.

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