Sabendo que a área duma superfície de revolução gerada pela rotação da função
em torno do eixo
, entre
e
, é dada por
E que o volume do sólido de resolução é dado por
Considere a função
, os pontos
e
, e faça o que se pede.
© O sólido de resolução em questão é chamado Trombeta de Gabriel, conforme ilustrado abaixo. O item
mostrou que sua área superficial é infinita, mas o item
mostrou que seu volume é finito. Tente explicar esse suposto paradoxo.
© O sólido de resolução em questão é chamado Trombeta de Gabriel, conforme ilustrado abaixo. O item
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com uma forma geométrica chamada Trombeta de Gabriel, que é gerada ao girar a função
em torno do eixo
, do ponto
até
. Já vimos que a área dessa superfície é infinita, mas o volume é finito. Agora, precisamos entender e explicar por que isso acontece, já que parece um paradoxo ter uma área infinita e um volume finito ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo como integrais impróprias e a relação entre área e volume em sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma área infinita. A área da superfície de revolução é calculada pela integral:
Para
, derivando
. Substituindo na fórmula, a integral para a área se torna:
Simplificando:
Essa integral diverge, ou seja, resulta em infinito. Isso significa que a área da superfície é infinita.
Passo 3
Agora, vamos ver o volume do sólido de revolução, que é dado por:
Substituindo
:
Essa integral é convergente e resulta em:
Então, o volume do sólido é finito, igual a
.
Passo 4
Agora, vamos entender o paradoxo. Como algo pode ter uma área infinita mas um volume finito? A chave está na forma como a função
se comporta conforme
aumenta.
À medida que
cresce,
se aproxima de zero, mas nunca chega a ser exatamente zero. Isso significa que a largura da trombeta está diminuindo, o que faz com que, apesar de a área da superfície continuar aumentando sem limites (porque estamos somando muitas pequenas áreas mesmo com a largura decrescendo), o volume total acumulado fica limitado.
Em termos matemáticos, a área depende da integral que inclui o fator
, que para
tende a contribuir para a divergência da integral. Já o volume depende de
, que decresce o suficiente para que a integral seja finita.
Resposta
Portanto, o paradoxo ocorre porque, embora a superfície da Trombeta de Gabriel tenha uma área infinita devido à contínua adição de pequenas áreas mesmo com a largura decrescendo, o volume total permanece finito já que a redução na largura faz com que o acúmulo de volume não cresça sem limites.