Sabendo que a área duma superfície de revolução gerada pela rotação da função f(x) em torno do eixo x, entre x=a e x=b, é dada por
A=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
E que o volume do sólido de resolução é dado por
V=integrala^b pi cdot[f(x)]^2 d x
Considere a função f(x)=1x, os pontos a=1 e b=+infty, e faça o que se pede.
© O sólido de resolução em questão é chamado Trombeta de Gabriel, conforme ilustrado abaixo. O item a mostrou que sua área superficial é infinita, mas o item b mostrou que seu volume é finito. Tente explicar esse suposto paradoxo.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com uma forma geométrica chamada Trombeta de Gabriel, que é gerada ao girar a função em torno do eixo , do ponto até . Já vimos que a área dessa superfície é infinita, mas o volume é finito. Agora, precisamos entender e explicar por que isso acontece, já que parece um paradoxo ter uma área infinita e um volume finito ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo como integrais impróprias e a relação entre área e volume em sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma área infinita. A área da superfície de revolução é calculada pela integral:
A = integral1^+infty 2pi f(x) raiz1 + [f'(x)]^2 , dx
Para A = integral1^+infty 2pi cdot 1x cdot raiz1 + (-1x^2)^2 , dx , derivando A = integral1^+infty 2pi cdot 1x cdot raiz1 + 1x^4 , dx . Substituindo na fórmula, a integral para a área se torna:
Simplificando:
Essa integral diverge, ou seja, resulta em infinito. Isso significa que a área da superfície é infinita.

Passo 3

Agora, vamos ver o volume do sólido de revolução, que é dado por:
V = integral1^+infty pi cdot [f(x)]^2 , dx
Substituindo V = integral1^+infty pi cdot (1x)^2 , dx = pi integral1^+infty 1x^2 , dx :
V = pi [ -1x ]1^+infty = pi (0 - (-1)) = pi
Essa integral é convergente e resulta em:
Então, o volume do sólido é finito, igual a .

Passo 4

Agora, vamos entender o paradoxo. Como algo pode ter uma área infinita mas um volume finito? A chave está na forma como a função se comporta conforme aumenta.
À medida que cresce, se aproxima de zero, mas nunca chega a ser exatamente zero. Isso significa que a largura da trombeta está diminuindo, o que faz com que, apesar de a área da superfície continuar aumentando sem limites (porque estamos somando muitas pequenas áreas mesmo com a largura decrescendo), o volume total acumulado fica limitado.
Em termos matemáticos, a área depende da integral que inclui o fator , que para tende a contribuir para a divergência da integral. Já o volume depende de , que decresce o suficiente para que a integral seja finita.

Resposta

Portanto, o paradoxo ocorre porque, embora a superfície da Trombeta de Gabriel tenha uma área infinita devido à contínua adição de pequenas áreas mesmo com a largura decrescendo, o volume total permanece finito já que a redução na largura faz com que o acúmulo de volume não cresça sem limites.

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