Classifique a sequência em crecente ou descrescente, determine se a mesma é limitada, calcule seu limite da sequência ou mostre que ela é divergente.
c) {4 + n^(-3)}_{n=1}^{\infty}

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo é classificar se ela é crescente ou decrescente, verificar se é limitada e calcular o seu limite. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequência, comparação de termos consecutivos, limites e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, vamos comparar o termo geral com o próximo termo:
Calculando a diferença entre os termos consecutivos:
Sabemos que para todo positivo, pois conforme aumenta, diminui. Portanto, , o que significa que a sequência é decrescente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os seus termos.
Observando a sequência :
  • Como para todo , temos que . Portanto, 4 é um limite inferior.
  • No caso de , . Como a sequência é decrescente, nenhum termo será maior que 5. Assim, 5 é um limite superior.
Portanto, a sequência é limitada.

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite da sequência conforme tende ao infinito:
Portanto, o limite da sequência é 4.

Resposta

A sequência é decrescente, limitada e o seu limite é 4.

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