Classifique a sequência em crecente ou descrescente, determine se a mesma é limitada, calcule seu limite da sequência ou mostre que ela é divergente.
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Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O objetivo é classificar se ela é crescente ou decrescente, verificar se é limitada e calcular o seu limite. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequência, comparação de termos consecutivos, limites e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, vamos comparar o termo geral com o próximo termo:
Calculando a diferença entre os termos consecutivos:
Sabemos que
para todo
positivo, pois conforme
aumenta,
diminui. Portanto,
, o que significa que a sequência é decrescente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os seus termos.
Observando a sequência
:
- Como
para todo , temos que . Portanto, 4 é um limite inferior. - No caso de
, . Como a sequência é decrescente, nenhum termo será maior que 5. Assim, 5 é um limite superior.
Portanto, a sequência é limitada.
Passo 4
Por fim, vamos calcular o limite da sequência conforme
tende ao infinito:
Portanto, o limite da sequência é 4.
Resposta
A sequência
é decrescente, limitada e o seu limite é 4.