Classifique a sequência em crecente ou descrescente, determine se a mesma é limitada, calcule seu limite da sequência ou mostre que ela é divergente.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na sequência
. O que a questão pede é para a gente:
- Verificar se a sequência é crescente ou decrescente.
- Determinar se ela é limitada.
- Calcular o limite da sequência ou mostrar que ela diverge.
Pra resolver tudo isso, a gente vai precisar entender conceitos básicos de sequências, como comportamento crescente/decrescente, o que significa ser limitada e como encontrar limites.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a sequência é crescente ou decrescente. Olha só,
. Conforme
aumenta, o termo
diminui porque o denominador está aumentando. Então,
algo que está diminuindo vai resultar em valores que estão aumentando.
Ou seja, conforme
aumenta,
aumenta. Portanto, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos ver se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existir um número que ela nunca ultrapassa, tanto para cima quanto para baixo.
No nosso caso,
:
- O termo
é sempre positivo porque é natural e também é positivo. - Então,
será sempre menor que 5. - Além disso, quando
, .
Portanto, a sequência está sempre entre 4 e 5. Assim, ela é limitada.
Passo 4
Por fim, vamos calcular o limite da sequência conforme
tende ao infinito. O limite nos diz para onde a sequência está se aproximando à medida que
fica muito grande.
Olha só:
Sabemos que:
Então:
Portanto, o limite da sequência é 5.
Resposta
A sequência
é crescente, limitada (entre 4 e 5) e tem limite igual a 5 conforme
tende ao infinito.