Classifique a sequência em crecente ou descrescente, determine se a mesma é limitada, calcule seu limite da sequência ou mostre que ela é divergente.
b) b_n = {5 - n^(-1/2)}_{n=1}^{infinito}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na sequência . O que a questão pede é para a gente:
  1. Verificar se a sequência é crescente ou decrescente.
  2. Determinar se ela é limitada.
  3. Calcular o limite da sequência ou mostrar que ela diverge.
Pra resolver tudo isso, a gente vai precisar entender conceitos básicos de sequências, como comportamento crescente/decrescente, o que significa ser limitada e como encontrar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a sequência é crescente ou decrescente. Olha só, . Conforme aumenta, o termo diminui porque o denominador está aumentando. Então, algo que está diminuindo vai resultar em valores que estão aumentando.
Ou seja, conforme aumenta, aumenta. Portanto, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos ver se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existir um número que ela nunca ultrapassa, tanto para cima quanto para baixo.
No nosso caso, :
  • O termo é sempre positivo porque é natural e também é positivo.
  • Então, será sempre menor que 5.
  • Além disso, quando , .
Portanto, a sequência está sempre entre 4 e 5. Assim, ela é limitada.

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite da sequência conforme tende ao infinito. O limite nos diz para onde a sequência está se aproximando à medida que fica muito grande.
Olha só:
Sabemos que:
Então:
Portanto, o limite da sequência é 5.

Resposta

A sequência é crescente, limitada (entre 4 e 5) e tem limite igual a 5 conforme tende ao infinito.

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