Utilize derivadas parciais para calcular partial ypartial x se y=f(x) é definida implicitamente pelas equações dadas abaixo:
© x^4+2 x^2 y^2-3 x y^3+2 x=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que relaciona x^4 + 2 x^2 y^2 - 3 x y^3 + 2 x = 0 e :
Queremos encontrar , ou seja, a derivada de em relação a . Para isso, vamos usar derivadas parciais e a técnica de diferenciação implícita, já que está definida de forma implícita em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a ddx (x^4) = 4x^3 . Começamos com :

Passo 3

Agora, vamos derivar ddx (2x^2 y^2) = 2 cdot 2x cdot y^2 + 2x^2 cdot 2y cdot dydx = 4x y^2 + 4x^2 y dydx . Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia, lembrando que é uma função de :

Passo 4

Em seguida, derivamos ddx (-3x y^3) = -3 y^3 - 3x cdot 3y^2 cdot dydx = -3 y^3 - 9x y^2 dydx :

Passo 5

Por fim, derivamos ddx (2x) = 2 :

Passo 6

Agora, juntamos todas as derivadas obtidas:
4x^3 + 4x y^2 + 4x^2 y dydx - 3 y^3 - 9x y^2 dydx + 2 = 0

Passo 7

Vamos isolar (4x^2 y - 9x y^2) dydx = -4x^3 - 4x y^2 + 3 y^3 - 2 . Primeiro, agrupamos os termos que contêm :

Passo 8

Por fim, resolvemos para dydx = -4x^3 - 4x y^2 + 3 y^3 - 24x^2 y - 9x y^2 :

Resposta

partial ypartial x = -4x^3 - 4x y^2 + 3 y^3 - 24x^2 y - 9x y^2

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