Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(h) f(x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2
R:(0,0) Ponto de mínimo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e depois descobrir se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada, que são ferramentas do cálculo multivariável para analisar o comportamento das funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia e a outra fica fixa.
  • A derivada parcial de em relação a é:
  • A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
  • Então,
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos investigar a natureza desse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Calculamos o determinante da Hessiana :
Agora, interpretamos os resultados:
  • Se e , então o ponto é um mínimo local.
  • Se e , então o ponto é um máximo local.
  • Se , então o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Portanto, o ponto é um ponto de mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico da função �� , que é um ponto de mínimo local.

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