Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(h)
Ponto de mínimo
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e depois descobrir se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada, que são ferramentas do cálculo multivariável para analisar o comportamento das funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia e a outra fica fixa.
- A derivada parcial de
em relação a é: - A derivada parcial de
em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
- Então,
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos investigar a natureza desse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Calculamos o determinante da Hessiana
:
Agora, interpretamos os resultados:
- Se
e , então o ponto é um mínimo local. - Se
e , então o ponto é um máximo local. - Se
, então o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Portanto, o ponto
é um ponto de mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico da função
��
, que é um ponto de mínimo local.