Classifique as sequências abaixo em crescentes, decrescentes, não-crescentes, não-decrescentes ou nenhuma das anteriores:
Passo 1
O enunciado nos pede para determinar a monotonicidade da sequência
dada por
Este é um exercício de classificação de sequências em crescentes, decrescentes, não-crescentes, não-decrescentes ou nenhuma das anteriores.
Passo 2
Lembrando as definições:
– Uma sequência é crescente se
– Uma sequência é crescente se
para todo
.
– É não-decrescente se
– É não-decrescente se
para todo
.
(As definições de decrescente e não-crescente são análogas com desigualdades invertidas.)
(As definições de decrescente e não-crescente são análogas com desigualdades invertidas.)
Passo 3
Vamos verificar a diferença entre termos consecutivos:
Expandindo e simplificando, temos
Como
é um natural,
para todo
.
Passo 4
O fato de
ser sempre positivo implica que
para todo
. Logo, a sequência é estritamente crescente.
Resposta
A sequência
é crescente.