Classifique as sequências abaixo em crescentes, decrescentes, não-crescentes, não-decrescentes ou nenhuma das anteriores:
b_{n}=n^{2}

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar a monotonicidade da sequência (b_{n}) dada por
b_{n} = n^{2}.
Este é um exercício de classificação de sequências em crescentes, decrescentes, não-crescentes, não-decrescentes ou nenhuma das anteriores.

Passo 2

Lembrando as definições:
– Uma sequência é crescente se
b_{n+1} > b_{n}
para todo n.
– É não-decrescente se
b_{n+1} \ge b_{n}
para todo n.
(As definições de decrescente e não-crescente são análogas com desigualdades invertidas.)

Passo 3

Vamos verificar a diferença entre termos consecutivos:
b_{n+1} - b_{n} = (n+1)^{2} - n^{2}.
Expandindo e simplificando, temos
(n+1)^{2} - n^{2} = n^{2} + 2n +1 - n^{2} = 2n + 1.
Como n é um natural, 2n+1 > 0 para todo n\ge1.

Passo 4

O fato de b_{n+1}-b_{n}=2n+1 ser sempre positivo implica que
b_{n+1} > b_{n}
para todo n. Logo, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \,b_{n}=n^{2} é crescente.

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