Classifique as sequências abaixo (limitadas, não limitadas, limitada superiormente, limitada inferiormente, crescente, decrescente). Justifique sua resposta.
\{n!\}_{n \geq 0}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência \{n!\}_{n\ge0} segundo:
– se é limitada (ou não),
– se é limitada superiormente,
– se é limitada inferiormente,
– se é (strictamente) crescente ou decrescente.
Para isso, vamos lembrar a definição de fatorial e depois estudar seu comportamento para grandes n.

Passo 2

Definição de fatorial:
n! = \begin{cases} 1,& n=0,\\\\ 1\cdot2\cdot3\cdots n,& n\ge1. \end{cases}
Logo, temos explicitamente
0! = 1,\quad 1! = 1,\quad 2! = 2,\quad 3! = 6,\quad 4! = 24,\;\dots

Passo 3

Monotonicidade:
Para ver se é crescente ou decrescente, comparamos n! e (n+1)!.
(n+1)! = (n+1)\,n! > n!\quad\text{para todo }n\ge1.
Como (n+1)! é sempre maior que n!, a sequência é estritamente crescente a partir de n=1. Note que entre n=0 e n=1 temos 0!=1 e 1!=1, mas a partir daí é sempre aumento. Concluímos que \{n!\} é crescente (mais precisamente, não decrescente e depois estritamente crescente).

Passo 4

Limites e limites parciais:
– Limitada inferiormente?
Como n!\ge1 para todo n\ge0, a sequência tem cota inferior 1. Logo ela é limitada inferiormente.
– Limitada superiormente?
Observamos que n! cresce sem parar: por exemplo, para n\ge5 vale
n! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots n \ge 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdots2 = 2^{\,n-1},
que diverge para +\infty quando n\to\infty. Portanto não existe cota superior fixa.
– Limitada (no sentido usual)?
Uma sequência é limitada se tem cotas superior e inferior finitas. Aqui não há cota superior, então \{n!\} não é limitada.

Resposta

A sequência \{n!\}_{n\ge0}:
– não é limitada (pois não é limitada superiormente),
– é limitada inferiormente (cota inferior 1),
– não é limitada superiormente,
– é crescente (estritamente crescente para n\ge1).

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