Quais das sequências abaixo convergem e quais divergem? Justifique. (1,5 ponto)
a_{n}=\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
a_{n} = \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o conceito de limite de sequência numérica real e a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites, quando ambos existem.

Passo 2

Primeiro observamos que, conforme n \to \infty, temos as seguintes convergências conhecidas:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0
e
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{2}} = 0.
Pela propriedade de limite de soma, podemos escrever
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}\Bigr) = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} \;+\;\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{2}} = 0 + 0 = 0.
Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

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