Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Para as séries convergentes encontre o valor da soma. Justifique suas respostas. ( 1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
e, se convergente, encontrar seu valor. O conteúdo principal é série geométrica e precisaremos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma quando o módulo da razão for menor que 1.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral de modo a evidenciar a forma geométrica:
Passo 3
Identificamos aí uma série geométrica de razão
Como
, a série converge.
Passo 4
Para uma série geométrica
com
, vale
No nosso caso, há um fator
externo e
, logo
Passo 5
Calculamos o valor numérico:
portanto
e multiplicando pelo fator
:
Resposta
A série converge e sua soma é
.