Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Para as séries convergentes encontre o valor da soma. Justifique suas respostas. ( 1,5 ponto)
\quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{3^{n}}{4^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3^{n}}{4^{n+1}}
e, se convergente, encontrar seu valor. O conteúdo principal é série geométrica e precisaremos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma quando o módulo da razão for menor que 1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de modo a evidenciar a forma geométrica:
\frac{3^{n}}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}\,\frac{3^{n}}{4^{n}} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Identificamos aí uma série geométrica de razão
r = \frac{3}{4}.
Como \lvert r\rvert = \tfrac{3}{4}<1, a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica \sum_{n=N}^{\infty}r^{n} com \lvert r\rvert<1, vale
\sum_{n=N}^{\infty}r^{n} = \frac{r^{N}}{1-r}.
No nosso caso, há um fator \tfrac{1}{4} externo e N=2, logo
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{4}\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n} = \frac{1}{4}\,\frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}}{1-\tfrac{3}{4}}.

Passo 5

Calculamos o valor numérico:
\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{2} = \frac{9}{16}, \quad 1-\tfrac{3}{4} = \frac{1}{4},
portanto
\frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}}{1-\tfrac{3}{4}} = \frac{\tfrac{9}{16}}{\tfrac{1}{4}} = \frac{9}{16}\cdot4 = \frac{9}{4}
e multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4}:
\frac{1}{4}\cdot\frac{9}{4} = \frac{9}{16}.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac{9}{16}.

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