Um vetor posição muda de \vec{r}_{1}=(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) para \vec{r}_{2}=(-1 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}). Determine o vetor deslocamento \Delta \vec{r}, seu módulo e a direção de \vec{r}_{2} em relação a \vec{r}_{1}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores posição e pede três coisas. Vou listar com calma para a gente não se perder.
Dados fornecidos:
\vec{r}_{1}=(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})
\vec{r}_{2}=(-1\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k})
Perguntas do enunciado:
  1. Determinar o vetor deslocamento \Delta\vec{r} quando a posição muda de \vec{r}_{1} para \vec{r}_{2}.
  2. Determinar o módulo (norma) de \Delta\vec{r}.
  3. Determinar a direção de \vec{r}_{2} em relação a \vec{r}_{1}, ou seja, o ângulo entre \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}.

Passo 2

O deslocamento entre duas posições é a diferença entre o vetor final e o vetor inicial. A fórmula é simples:
\Delta\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}.
Agora substituímos as componentes (cada componente se subtrai da correspondente).
Calcule cada componente:
\Delta x = -1-2 = -3,
\Delta y = 5-(-3)=5+3=8,
\Delta z = 2-4 = -2.
Portanto,
\Delta\vec{r} = (-3)\hat{i} + 8\hat{j} + (-2)\hat{k}.

Passo 3

Agora vamos achar o módulo de \Delta\vec{r}. Lembra da fórmula da norma (magnitude) de um vetor em 3D? Para um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z),
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Aqui \Delta\vec{r}=(-3,8,-2). Aplicando a fórmula:
\|\Delta\vec{r}\|=\sqrt{(-3)^2+8^2+(-2)^2}=\sqrt{9+64+4}=\sqrt{77}.
Se quiser uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor aproximado):
\sqrt{77}\approx 8,775.
(Usei a raiz quadrada; sem calculadora na prova, deixe em forma de \sqrt{77} ou estime com aproximação se for pedido.)

Passo 4

Agora vamos calcular a direção de \vec{r}_{2} em relação a \vec{r}_{1}. A maneira padrão é encontrar o ângulo \theta entre eles usando o produto escalar. Vou explicar o conceito devagar.
Definição: o produto escalar entre dois vetores \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Propriedade usável: o produto escalar também se relaciona com o ângulo \theta entre os vetores por
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|\cos\theta.
Logo,
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|}.

Passo 5

Calculemos o produto escalar \vec{r}_{1}\cdot\vec{r}_{2}. Usando as componentes:
\vec{r}_{1}\cdot\vec{r}_{2}=2\cdot(-1)+(-3)\cdot5+4\cdot2.
Faço as multiplicações:
2\cdot(-1)=-2,\quad (-3)\cdot5=-15,\quad 4\cdot2=8.
Somando:
\vec{r}_{1}\cdot\vec{r}_{2}=-2-15+8=-9.

Passo 6

Agora precisamos das normas de \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}.
Para \vec{r}_{1}=(2,-3,4):
\|\vec{r}_{1}\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
Para \vec{r}_{2}=(-1,5,2):
\|\vec{r}_{2}\|=\sqrt{(-1)^2+5^2+2^2}=\sqrt{1+25+4}=\sqrt{30}.

Passo 7

Agora usamos a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\vec{r}_{1}\cdot\vec{r}_{2}}{\|\vec{r}_{1}\|\;\|\vec{r}_{2}\|}=\frac{-9}{\sqrt{29}\,\sqrt{30}}=\frac{-9}{\sqrt{870}}.
Isso é uma expressão exata. Para interpretação numérica (e para obter o ângulo), calcule a aproximação:
\cos\theta\approx\frac{-9}{\sqrt{870}}\approx -0,305.
Tomando o arco cosseno para obter \theta:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-9}{\sqrt{870}}\right)\approx 107,8^\circ.
Observação interpretativa: o cosseno negativo indica que o ângulo é maior que 90^\circ, ou seja, \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2} formam um ângulo obtuso.

Resposta

\Delta\vec{r} = -3\hat{i}+8\hat{j}-2\hat{k}
\|\Delta\vec{r}\| = \sqrt{77}\approx 8,775
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-9}{\sqrt{29\cdot30}}\right)\approx 107,8^\circ

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