Um vetor posição muda de
para
. Determine o vetor deslocamento
, seu módulo e a direção de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores posição e pede três coisas. Vou listar com calma para a gente não se perder.
Dados fornecidos:
Perguntas do enunciado:
- Determinar o vetor deslocamento
quando a posição muda de para . - Determinar o módulo (norma) de
. - Determinar a direção de
em relação a , ou seja, o ângulo entre e .
Passo 2
O deslocamento entre duas posições é a diferença entre o vetor final e o vetor inicial. A fórmula é simples:
Agora substituímos as componentes (cada componente se subtrai da correspondente).
Calcule cada componente:
Portanto,
Passo 3
Agora vamos achar o módulo de
. Lembra da fórmula da norma (magnitude) de um vetor em 3D? Para um vetor
,
Aqui
. Aplicando a fórmula:
Se quiser uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor aproximado):
(Usei a raiz quadrada; sem calculadora na prova, deixe em forma de
ou estime com aproximação se for pedido.)
Passo 4
Agora vamos calcular a direção de
em relação a
. A maneira padrão é encontrar o ângulo
entre eles usando o produto escalar. Vou explicar o conceito devagar.
Definição: o produto escalar entre dois vetores
e
é
Propriedade usável: o produto escalar também se relaciona com o ângulo
entre os vetores por
Logo,
Passo 5
Calculemos o produto escalar
. Usando as componentes:
Faço as multiplicações:
Somando:
Passo 6
Agora precisamos das normas de
e
.
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora usamos a fórmula do cosseno:
Isso é uma expressão exata. Para interpretação numérica (e para obter o ângulo), calcule a aproximação:
Tomando o arco cosseno para obter
:
Observação interpretativa: o cosseno negativo indica que o ângulo é maior que
, ou seja,
e
formam um ângulo obtuso.