Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=3}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \ln k}{k}

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
\sum_{k=3}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\ln k}{k}.
O conteúdo principal é o teste de séries alternadas (Leibniz) para verificar convergência e o teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste da integral) para verificar se \sum|\frac{(-1)^k\ln k}{k}| converge.

Passo 2

Aplicamos o teste de Leibniz à sequência
a_k = \frac{\ln k}{k}.
  1. Para k\ge3, a_k>0.
  2. A função f(x)=\frac{\ln x}{x} tem derivada
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2},
que é negativa para x>e. Como 3>e, a_k é decrescente a partir de k=3.
3. Limite em zero:
\lim_{k\to\infty} \frac{\ln k}{k} = 0.
Logo, pelos critérios de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Para a convergência absoluta, analisamos
\sum_{k=3}^{\infty}\bigg|\frac{(-1)^k\ln k}{k}\bigg| =\sum_{k=3}^{\infty}\frac{\ln k}{k}.
Usando o teste da integral, consideramos
\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx =\frac{1}{2}(\ln x)^2\Big|_{3}^{\infty} =\infty.
Como a integral diverge, a série de termos absolutos também diverge, logo não é absolutamente convergente.

Passo 4

A série converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente. Portanto, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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