Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{3 k}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{3\,k}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isto é conteúdo de testes de convergência de séries alternadas e de séries de termos não negativos (testes de convergência absoluta).

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, isto é, a série dos valores absolutos dos termos:
\sum_{k=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{k+1}}{3\,k}\biggr| =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3\,k} =\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}.
Como \sum_{k=1}^{\infty}1/k é a série harmônica, ela diverge. Logo a nossa série não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Considere a sequência de módulos
a_k=\frac{1}{3\,k}.
Temos dois fatos:
  1. a_k>0 para todo k.
  2. a_{k+1}=1/(3(k+1))<1/(3k)=a_k, ou seja, (a_k) é estritamente decrescente.
  3. \lim_{k\to\infty}a_k=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{3k}=0.
Pelos requisitos do critério de Leibniz (série alternada com termos monótonos em módulo tendendo a zero), concluímos que
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{3\,k}
converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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