Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-4)^{k}}{k^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-4)^{k}}{k^{2}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar testes de convergência de séries: primeiro testamos a convergência absoluta e, se falhar, analisamos a convergência (ou divergência) da série original.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{k=1}^{\infty} \left|\frac{(-4)^{k}}{k^{2}}\right| =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4^{k}}{k^{2}}.
Aplicamos o teste da razão:
L = \lim_{k\to\infty}\frac{4^{\,k+1}/(k+1)^{2}}{4^{\,k}/k^{2}} = \lim_{k\to\infty}4\cdot\frac{k^{2}}{(k+1)^{2}} =4.
Como L=4>1, a série \sum4^{k}/k^{2} diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para ver se é condicionalmente convergente, olhamos a série original. Note que
a_{k} = \frac{(-4)^{k}}{k^{2}}
e
|a_{k}| = \frac{4^{k}}{k^{2}}\to\infty \quad\text{quando }k\to\infty.
Em particular, \lim_{k\to\infty}a_{k} não é zero. Mas um requisito necessário para uma série \sum a_{k} convergir é que a_{k}\to0. Portanto, a série não pode convergir nem mesmo de forma condicional.

Resposta

A série diverge.

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