Use o teste da razão para a convergência absoluta (Teorema 9.6.5) para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k^{3}}{e^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão a fim de decidir sobre a convergência absoluta da série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{k^{3}}{e^{k}}.
Para isso, vamos considerar os termos positivos
b_{k}=\bigl|(-1)^{k}\tfrac{k^{3}}{e^{k}}\bigr|=\frac{k^{3}}{e^{k}}
e aplicar o teste da razão ao somatório \sum b_{k}.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{k+1}}{b_{k}} =\frac{\displaystyle\frac{(k+1)^{3}}{e^{\,k+1}}}{\displaystyle\frac{k^{3}}{e^{\,k}}} =\left(\frac{k+1}{k}\right)^{3}\frac{1}{e}.

Passo 3

Agora tiramos o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\frac{b_{k+1}}{b_{k}} =\lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr)^{3}\frac{1}{e} =\frac{1}{e}.

Passo 4

O valor L=\tfrac{1}{e} satisfaz L<1. Pelo teste da razão, a série \sum b_{k} converge. Logo, a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (e portanto converge).

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