Use o teste da razão para a convergência absoluta (Teorema 9.6.5) para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{k^{k}}{k!}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k^{k}}{k!}
converge ou diverge, usando o teste da razão para convergência absoluta. Se esse teste for inconclusivo, devemos apontar isso. Também teremos de verificar, ao final, se a série original converge condicionalmente ou diverge de vez.

Passo 2

Definimos o termo de valor absoluto
a_k \;=\;\biggl|\;(-1)^{k+1}\frac{k^k}{k!}\biggr| =\frac{k^k}{k!}.
O termo seguinte é
a_{k+1} =\frac{(k+1)^{\,k+1}}{(k+1)!} =\frac{(k+1)^{\,k}}{k!}.
Aplicamos o teste da razão:
L \;=\;\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)^{k}/k!}{k^{k}/k!} =\lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1k\Bigr)^{k}.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1k\Bigr)^{k}=e>1.
Como L=e>1, o teste da razão diz que
\sum_{k=1}^\infty a_k
diverge. Logo a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Para qualquer série convergente (mesmo condicional), é necessário que seu termo geral tenda a zero. Aqui já vimos que a_{k+1}/a_k\to e>1, o que implica que a_k cresce e não tende a zero. Portanto o termo geral (-1)^{k+1}k^k/k! também não tende a zero, de modo que a série diverge de fato.

Resposta

A série diverge.

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