Use o teste da razão para a convergência absoluta (Teorema 9.6.5) para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso. \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{k^{k}}{k!}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k^{k}}{k!}
converge ou diverge, usando o teste da razão para convergência absoluta. Se esse teste for inconclusivo, devemos apontar isso. Também teremos de verificar, ao final, se a série original converge condicionalmente ou diverge de vez.
L \;=\;\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)^{k}/k!}{k^{k}/k!} =\lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1k\Bigr)^{k}.
Passo 3
Sabemos que
\lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1k\Bigr)^{k}=e>1.
Como L=e>1, o teste da razão diz que
\sum_{k=1}^\infty a_k
diverge. Logo a série original não converge absolutamente.
Passo 4
Para qualquer série convergente (mesmo condicional), é necessário que seu termo geral tenda a zero. Aqui já vimos que a_{k+1}/a_k\to e>1, o que implica que a_k cresce e não tende a zero. Portanto o termo geral (-1)^{k+1}k^k/k! também não tende a zero, de modo que a série diverge de fato.