Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k \pi}{k}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k\pi}{k}
quanto à convergência: absoluta, condicional ou divergente. Vamos usar testes de convergência absoluta (série de termos positivos) e teste de séries alternantes.

Passo 2

Observamos que
\cos k\pi = (-1)^k.
Logo a série fica
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k\pi}{k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}.

Passo 3

Para avaliar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl|\frac{(-1)^k}{k}\Bigr| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}.
Esta é a série harmônica, que sabemos divergir (p-série com p=1). Portanto a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora aplicamos o teste da série alternante (Leibniz). Note que os termos \frac{1}{k} são positivos, decrescentes e têm limite zero:
\frac{1}{k+1}<\frac{1}{k},\quad \lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}=0.
Pelo critério de Leibniz, a série \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{k}
converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos k\pi}{k} é condicionalmente convergente.

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