Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k!}

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k!}
e pede para classificá-la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos analisar primeiro a convergência absoluta e, a seguir, usar o critério apropriado.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos a série das magnitudes dos termos:
\sum_{k=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{k+1}}{k!}\right| =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}.
Aplicamos o critério da razão: seja a_k = 1/k!. Então
L = \lim_{k\to\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty} \frac{\frac{1}{(k+1)!}}{\frac{1}{k!}} = \lim_{k\to\infty} \frac{1}{k+1} = 0.
Como L<1, a série \sum 1/k! converge.

Passo 3

Já que a série das magnitudes converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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