Classifique a série como convergente, divergente ou condicionalmente convergente.
Passo 1
Vamos analisar a série
. O objetivo é verificar se essa série é convergente, divergente ou condicionalmente convergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e critérios de teste de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Sabemos que
alterna entre 1 e -1 conforme
varia. Especificamente,
. Portanto, a série pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, temos uma série alternada da forma
, onde
. Para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 4
O Teste da Série Alternada diz que a série
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são decrescentes: para todo . -
.
Vamos verificar essas condições.
Passo 5
Primeiro, observamos que
é uma sequência decrescente, pois conforme
aumenta, o denominador aumenta, tornando
menor.
Segundo, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Como ambas as condições do teste são satisfeitas, a série é convergente.
Passo 6
No entanto, para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, precisamos verificar a convergência da série dos valores absolutos:
Passo 7
Comparamos essa série com
, que é a série harmônica conhecida por divergir. Como
para todo
, a série dos valores absolutos também diverge.
Resposta
A série
é condicionalmente convergente.