Classifique a série como convergente, divergente ou condicionalmente convergente.
sumk=1^infty cos (k pi)raizk^2+1

Passo 1

Vamos analisar a série sumk=1^infty cos(k pi)raizk^2+1. O objetivo é verificar se essa série é convergente, divergente ou condicionalmente convergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e critérios de teste de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Sabemos que cos(k pi) alterna entre 1 e -1 conforme k varia. Especificamente, cos(k pi) = (-1)^k. Portanto, a série pode ser reescrita como:
sumk=1^infty (-1)^kraizk^2+1

Passo 3

Agora, temos uma série alternada da forma sum (-1)^k ak, onde ak = 1raizk^2+1. Para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 4

O Teste da Série Alternada diz que a série sum (-1)^k ak converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos ak são decrescentes: ak+1 <= ak para todo k.
  2. limk to infty ak = 0.
Vamos verificar essas condições.

Passo 5

Primeiro, observamos que ak = 1raizk^2+1 é uma sequência decrescente, pois conforme k aumenta, o denominador aumenta, tornando ak menor.
Segundo, calculamos o limite de ak quando k tende ao infinito:
limk to infty 1raizk^2+1 = 0
Como ambas as condições do teste são satisfeitas, a série é convergente.

Passo 6

No entanto, para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, precisamos verificar a convergência da série dos valores absolutos:
sumk=1^infty 1raizk^2+1

Passo 7

Comparamos essa série com sum 1k, que é a série harmônica conhecida por divergir. Como 1raizk^2+1 >= 1k para todo k >= 1, a série dos valores absolutos também diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty cos(k pi)raizk^2+1 é condicionalmente convergente.

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