Encontre o raio e intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série:
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o teste da razão, que nos ajudam a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série de potências que temos. Ela está na forma geral:
Aqui,
,
.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, usamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz que o raio
é:
Vamos calcular esse limite.
Passo 4
Calculando o limite:
Simplificando:
Passo 5
Simplificando o limite:
Sabemos que
limk to infty k^2(k+1)^2 = 1 , então:
Passo 6
Agora, aplicamos a definição do Teste da Razão: a série converge quando esse limite é menor que 1:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo.
Passo 7
Resolvendo a desigualdade:
Multiplicando todos os termos por 5:
Agora, somando 1 em todos os termos:
Passo 8
Então, o raio de convergência
R é 5, e o intervalo de convergência é de
x = -4 até
x = 6 .
Resposta
O raio de convergência é
R = 5 e o intervalo de convergência é
-4 < x < 6 .