Encontre o raio e intervalo de convergência:
sumk=1^infty (-1)^k(x-1)^kk^2 5^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série:
sumk=1^infty (-1)^k(x-1)^kk^2 5^k
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o teste da razão, que nos ajudam a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências que temos. Ela está na forma geral:
sumk=1^infty ak (x - c)^k
Aqui, c = 1, ak = (-1)^kk^2 5^k.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, usamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz que o raio R é:
R = 1limk to infty | ak+1ak |
Vamos calcular esse limite.

Passo 4

Calculando o limite:
limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | (-1)^k+1 (x-1)^k+1(k+1)^2 5^k+1 cdot k^2 5^k(-1)^k (x-1)^k |
Simplificando:
= limk to infty | (x-1) cdot k^25 (k+1)^2 |

Passo 5

Simplificando o limite:
= | x-15 | cdot limk to infty k^2(k+1)^2
Sabemos que limk to infty k^2(k+1)^2 = 1, então:
= | x-15 |

Passo 6

Agora, aplicamos a definição do Teste da Razão: a série converge quando esse limite é menor que 1:
| x-15 | < 1
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo.

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
-1 < x-15 < 1
Multiplicando todos os termos por 5:
-5 < x - 1 < 5
Agora, somando 1 em todos os termos:
-4 < x < 6

Passo 8

Então, o raio de convergência R é 5, e o intervalo de convergência é de x = -4 até x = 6.

Resposta

O raio de convergência é R = 5 e o intervalo de convergência é -4 < x < 6.

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