Questão : Considere a elipse .
(a) Calcule a curvatura da elipse em um ponto arbitrário ;
(b) Conclua que se a elipse for um círculo , a curvatura é constante igual a ;
(c) Mostre que, se , as curvaturas máxima e mínima da elipse acontecem nos pontos de intersecção com os eixos e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão sobre elipses! A gente vai trabalhar com a curvatura de uma elipse definida por , onde e são positivos e varia de a . O conteúdo aqui envolve geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente o conceito de curvatura de curvas no espaço. Para resolvermos isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções vetoriais e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Vamos começar calculando a curvatura da elipse em um ponto qualquer . A curvatura () de uma curva parametrizada por é dada pela fórmula:
Primeiro, vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de :
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
|r'(t) times r''(t)| = raiz0^2 + 0^2 + (a b)^2 = a b
Então, quando a = b, a curvatura kappa(t) é constante e igual a 1a, o que faz sentido já que um círculo tem curvatura constante em todos os pontos.
Passo 4
Finalmente, na parte (c), queremos mostrar que se a neq b, as curvaturas máxima e mínima da elipse ocorrem nos pontos onde a elipse cruza os eixos x e y.
Observando a fórmula da curvatura:
kappa(t) = a b(a^2 sin^2(t) + b^2 cos^2(t))^3/2
Para encontrar os valores máximo e mínimo de kappa(t), precisamos analisar os denominadores a^2 sin^2(t) + b^2 cos^2(t).
Quando t = 0 ou t = pi (pontos na interseção com o eixo x), sin(t) = 0 e cos(t) = pm1:
kappa(0) = a b(b^2)^3/2 = a bb^3 = ab^2
Quando t = pi2 ou t = 3pi2 (pontos na interseção com o eixo y), sin(t) = pm1 e cos(t) = 0:
kappa(pi2) = a b(a^2)^3/2 = a ba^3 = ba^2
Como a neq b, ab^2 e ba^2 são diferentes, indicando que esses são os pontos de curvatura máxima e mínima da elipse.
Resposta
(a) A curvatura da elipse em um ponto arbitrário t é dada por:
kappa(t) = a b(a^2 sin^2(t) + b^2 cos^2(t))^3/2
(b) Se a elipse for um círculo (a = b), a curvatura é constante e igual a 1a.
(c) Quando a neq b, as curvaturas máxima e mínima da elipse ocorrem nos pontos de interseção com os eixos x e y, respectivamente.