Questão 2(1,5) : Considere a elipse r(t)=(a cos (t), b sen(t), 0), a, b>0, 0 <= t <= 2 pi.
(a) Calcule a curvatura da elipse em um ponto arbitrário t;
(b) Conclua que se a elipse for um círculo (a=b), a curvatura é constante igual a 1a;
(c) Mostre que, se a neq b, as curvaturas máxima e mínima da elipse acontecem nos pontos de intersecção com os eixos x e y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão sobre elipses! A gente vai trabalhar com a curvatura de uma elipse definida por r(t) = (a cos(t), b sin(t), 0), onde a e b são positivos e t varia de 0 a 2pi. O conteúdo aqui envolve geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente o conceito de curvatura de curvas no espaço. Para resolvermos isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções vetoriais e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Vamos começar calculando a curvatura da elipse em um ponto qualquer t. A curvatura ( kappa) de uma curva parametrizada por r(t) é dada pela fórmula:
kappa(t) = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3
Primeiro, vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de r(t):
r'(t) = ddt(a cos(t), b sin(t), 0) = (-a sin(t), b cos(t), 0)
r''(t) = ddt(-a sin(t), b cos(t), 0) = (-a cos(t), -b sin(t), 0)
Agora, vamos calcular o produto vetorial r'(t) times r''(t):
r'(t) times r''(t) = i & j & k -a sin(t) & b cos(t) & 0 -a cos(t) & -b sin(t) & 0 = (0, 0, a b)
O módulo desse vetor é:
|r'(t) times r''(t)| = raiz0^2 + 0^2 + (a b)^2 = a b
Agora, vamos encontrar o módulo de r'(t):
|r'(t)| = raiz(-a sin(t))^2 + (b cos(t))^2 + 0^2 = raiza^2 sin^2(t) + b^2 cos^2(t)
Portanto, a curvatura kappa(t) é:
kappa(t) = a b(a^2 sin^2(t) + b^2 cos^2(t))^3/2

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Queremos ver o que acontece com a curvatura quando a elipse é um círculo, ou seja, quando a = b.
Substituindo a = b na fórmula da curvatura que encontramos:
kappa(t) = a^2(a^2 sin^2(t) + a^2 cos^2(t))^3/2 = a^2(a^2 (sin^2(t) + cos^2(t)))^3/2 = a^2(a^2 cdot 1)^3/2 = a^2a^3 = 1a
Então, quando a = b, a curvatura kappa(t) é constante e igual a 1a, o que faz sentido já que um círculo tem curvatura constante em todos os pontos.

Passo 4

Finalmente, na parte (c), queremos mostrar que se a neq b, as curvaturas máxima e mínima da elipse ocorrem nos pontos onde a elipse cruza os eixos x e y.
Observando a fórmula da curvatura:
kappa(t) = a b(a^2 sin^2(t) + b^2 cos^2(t))^3/2
Para encontrar os valores máximo e mínimo de kappa(t), precisamos analisar os denominadores a^2 sin^2(t) + b^2 cos^2(t).
  • Quando t = 0 ou t = pi (pontos na interseção com o eixo x), sin(t) = 0 e cos(t) = pm1:
kappa(0) = a b(b^2)^3/2 = a bb^3 = ab^2
  • Quando t = pi2 ou t = 3pi2 (pontos na interseção com o eixo y), sin(t) = pm1 e cos(t) = 0:
kappa(pi2) = a b(a^2)^3/2 = a ba^3 = ba^2
Como a neq b, ab^2 e ba^2 são diferentes, indicando que esses são os pontos de curvatura máxima e mínima da elipse.

Resposta

(a) A curvatura da elipse em um ponto arbitrário t é dada por:
kappa(t) = a b(a^2 sin^2(t) + b^2 cos^2(t))^3/2
(b) Se a elipse for um círculo ( a = b), a curvatura é constante e igual a 1a.
(c) Quando a neq b, as curvaturas máxima e mínima da elipse ocorrem nos pontos de interseção com os eixos x e y, respectivamente.

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