Classifique a série como convergente, divergente ou condicionalmente convergente.
sumk=1^infty k(-4)^k3^k-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar a série sumk=1^infty k(-4)^k3^k-1 como convergente, divergente ou condicionalmente convergente. Isso envolve entender séries infinitas e saber aplicar testes de convergência. Para resolver, vamos simplificar a expressão da série e aplicar o Teste da Razão para verificar sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Temos:
k(-4)^k3^k-1 = k cdot (-4)^k cdot 3^-(k-1) = k cdot (-4)^k cdot 13^k-1
Podemos reescrever 3^k-1 como 3^k3, então:
k cdot (-4)^k cdot 13^k3 = k cdot (-4)^k cdot 33^k = 3k cdot (-43)^k
Então, a série fica:
sumk=1^infty 3k (-43)^k

Passo 3

Agora que simplificamos, vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries que envolvem potências e fatorias. O teste consiste em calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
onde ak = 3k (-43)^k. Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular ak+1:
ak+1 = 3(k+1) (-43)^k+1 = 3(k+1) (-43)^k cdot -43
Agora, formamos a razão ak+1ak :
ak+1ak = 3(k+1) (-43)^k cdot -433k (-43)^k = (k+1)(-4)3k
Tomamos o valor absoluto para o teste:
| ak+1ak | = | (k+1)(-4)3k | = 4(k+1)3k

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty 4(k+1)3k = limk to infty 4k + 43k = 43

Passo 6

Interpretando o resultado:
  • Se L < 1: Converge.
  • Se L > 1: Diverge.
  • Se L = 1: Teste inconclusivo.
No nosso caso, L = 43 > 1, então a série diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty k(-4)^k3^k-1 é divergente.

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