Encontre o raio e intervalo de convergência:
sumk=1^infty (x-3)^2 k+1k!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o raio e o intervalo de convergência da série sumk=1^infty (x-3)^2k+1k!. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é ak = (x-3)^2k+1k!. O Teste da Razão diz que se o limite limk to infty | ak+1ak | for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
Simplificando:
Como vai para o infinito, esse limite tende a 0, que é menor que 1. Isso significa que a série converge para todos os valores de .

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é R (todos os números reais).

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